???2t6?t1?t3?4t2??y2???0???节点2：；
h?y??h?y??2???2t6?t1?t9?2?t?22?t??y?f??5???0?????????节点5：
???t7?t10?t5?t7?4t6??y2???0???节点6：；
12????h?y??h?y?t5?t10?2?t?21?t??y???0f??9???2???????节点9：；
h?y??h?y??2???2t6?t9?t11?2?t?22?t??y?f??10???0?????????节点10：。
一维稳态导热计算
4-10、一等截面直肋，高H,厚?，肋根温度为t0，流体温度为tf，表面传热系数为h,肋片导热系数为?。将它均分成4个节点（见附图），并对肋端为绝热及为对流边界条件（h同
侧面）的两种情况列出节点2，3，4的离散方程式。设
2H=45cm,??10mm,h?50W/(m.K),?=50W/(m.K),t0?100℃，tf?20℃，计算节点2，3，4的温度（对于肋端的两种边界条件）。
解：采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为：
??t1?t2??节点2：节点3：
?x????t3?t2???x?2h?x?t2?tf??0?2h?x?t3?tf??0； ；
??t2?t3???x??t4?t3???x??t3?t4??节点4：肋端绝热
肋端对流
?x?h?x?t4?tf??0，
。
??t3?t4???x?x??h?x?t4?tf??h??t4?tf??0H3。将已知条件代入可得下列两方程组： 其中
肋端绝热 t3?2.045t2?100.9?0
t2?2.045t3?t4?0.9?0 t3?1.0225t4?0.45?0 肋端对流 t3?2.045t2?100.9?0 t2?2.045t3?t4?0.9?0
t3?1.0375t4?0.8?0
由此解得：肋端绝热t2?92.2C，t3?87.7C，t4?86.2C；
肋端对流t2?91.5C，t3?86.2C，t4?83.8C。 肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。
4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日益得到广泛的应用。附图所示为双层圆筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。已知
000000r1?12.5mm,r2?16mm,r3?18mm,?1?40W/(m.K)，?2?120W/(m.K),tf1?150℃，
h1?1000W/(m2.K),tf2?60℃，h2?380W/(m2.K)。试用数值方法确定稳态时双层圆
筒壁截面上的温度分布。
解：采用计算机求解，答案从略。
采用热平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解;如果采用Taylor展开法列出方程，则需对两层管子单独进行，并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数值计算也需分两区进行，界面耦合。截面的温度分布定性地示于上图中。
4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度t0?100℃，其表面上有自然对流散热，
h?c?t?tf?/d??1/4，其中，c?1.20W/(m1.75o.C);d为杆直径，m。杆高H=10cm，直径
d=1cm, ?＝50W/(m.K)，t??25℃。不计辐射换热。试用数值方法确定长杆的散热量（需得出与网格无关的解。杆的两端可认为是绝热的。 解：数值求解过程略，Q=2.234W。
4-13 在上题中考虑长杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为0.8，环境可作为温度为t?的大空间，试重新计算其导热量。 解：数值求解过程略，Q=3.320W。
4-14、有如附图所示的一抛物线肋片，表面形线方程为：
y?x??e2??b?e??1?xH?/22
???恒定，流体表面传热系数h,肋根温度t0及内热源???,??x/Htt?t0f流体温度f为常数。定义：。
试：（1）建立无量纲温度?的控制方程；（2）在无量
t?tf?H2?ebhH?0.01,?0.05,?0.1,?0.01???t?tHH?0f纲参数下对上述控制方程进行数量计
算。确定无量纲温度?的分布。
解：无量纲温度方程为：
下图中，无量纲温度从肋根的1变化到肋端的0.852。
d2?/d2??0.01?2?/5?5?1????2??0。数值计算结果示于
一维非稳态导热计算
4-15、一直径为1cm,长4cm的钢制圆柱形肋片，初始温度为25℃，其后，肋基温度突然升高到200℃，同时温度为25℃的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为
2W/(m.K)。试将该肋片等分成两段（见附图）100，并用有
限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻4个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。已知
?＝43W/(m.K)，a?1.333?10?5m2/s。（提示：节点4的
离散方程可按端面的对流散热与从节点3到节点4的导热相平衡这一条件列出）。
解：三个节点的离散方程为：
节点2：
??d2??tk?12?tk2?tk3?tk2??d2?tk1?tk2??d2?k???x????????????d?x?h?tf?t2???c??x/2?4??x?4?4??????
节点3：
??d2??tk?13?tk3?tk4?tk3??d2?tk2?tk3??d2?k???x????????????d?x?h?tf?t3???c??x/2?4??x?4?4??????节点4：
tk3?tk4??d2???d2?k??????h?t4?tf??x/2?4??4?。
以上三式可化简为：
?4h????3a??4h???k?a????a???tk?12?2?2?t1??2?t3??t???f?1??t22?x?cd? ??x???x???cd???4h????3a??4h???k?a????a???tk?13??2?t2?2?2?t4??t???f?1??t32?x?x?cd?x?cd????????
?2???xh?tk4?2?tk3??xhtf
?3a4h?3a??4h?????1/???0?2?2?x?cd?x?cd??。 稳定性要求，即
?435?c???32.258?10a1.333?10?5，代入得：
1??3?1.333?10?5?4?1001???1/????8.89877s25?0.020.01?32.258?10?0.099975?0.0124?，
如取此值为计算步长，则：
4h??4?100?8.89877a??1.333?10?5?8.89877??0.1103??0.2966522?cd32.258?10?0.01?x0.02，。
kk?12?0.2966t?0.2966t?0.1103t?t13f2 于是以上三式化成为：
kkk?10.2966t?0.2966?2t?0.1103t?t24f3
kk0.9773t?0.0227t?t3f4
????8.89877s? 0 △? 2△? 3△? 4△? 时间 点 1 200 200 200 200 200 2 25 128.81 128.81 137.95 143.04 3 25 25 55.80 73.64 86.70 4 25 25 55.09 72.54 85.30 在上述计算中，由于??之值正好使
1?3a??4h????02?x?cd，
因而对节点2出现了在??及2??时刻温度相等这一情况。如取??为上值之半，则
4h??3a??4h??a???0.05511???0.5?0.148322?x?cd?x，?cd，，于是有：
2?0.1483t1?0.1483t3k?0.5t2k?0.0551tf?tk?12 0.1483t2k?0.1483?2t4k?0.5t3k?0.0551tf?tk?13
对于相邻四个时层的计算结果如下表所示：?1 2 时间 点 0 △? 2△? 3△? 200 200 200 200 0.9773tk3?0.0227tf?tk4
???4.4485s? 3 25 25 32.70 42.63 4 25 25 32.53 42.23 25 76.91 102.86 116.98 4△? 200 125.51 52.57 51.94 4-16、一厚为2.54cm的钢板，初始温度为650℃，后置于水中淬火，其表面温度突然下降为93.5℃并保持不变。试用数值方法计算中心温度下降到450℃所需的时间。已知
a?1.16?10?5m2/s。建议将平板8等分，取9个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒
计算的结果作比较。
解：数值求解结果示于下图中。随着时间步长的缩小，计算结果逐渐趋向于一个恒定值，当
??=0.00001s时，得所需时间为3.92s。
如图所示，横轴表示时间步长从1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒，0.0001秒，0.00001秒的变化；纵轴表示所需的冷却时间（用对数坐标表示）。
4-17、一火箭燃烧器，壳体内径为400mm,厚10mm,壳体内壁上涂了一层厚为2mm的包裹层。火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度为3000℃的烟气，经燃烧器端部的喷管喷住大气。大气温度为30℃。设包裹层内壁与燃气间的表面传热系数为2500 W/(m.K)，外壳表面与大气
2W/(m.K)，外壳材料的最高允许温度为1500℃。试用数值法确间的表面传热系数为350
定：为使外壳免受损坏，燃烧过程应在多长时间内完成。包裹材料的?＝0.3 W/(m.K)，
?72a=2?10m/s。
解：采用数值方法解得??420s。
4-18、锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温随时间变化。为控制热应力，需要计算汽包内壁的温度场。试用数值方法计算：当汽包内的饱和水温度上升的速率为1℃/min,3℃/min时，启动后10min,20min,及30min时汽包内壁截面中的温度分布及截面中的最大温差。启动前，汽包处于100℃的均匀温度。汽包可视为一无限长的圆柱体，外表面绝热，内表面与水之间的对流换热十分强烈。汽包的内径R1?0.9m,外半径R2?1.01m,热扩散率
a?9.98?10?6m2/s。
解：数值方法解得部分结果如下表所示。
汽包壁中的最大温差，K
启动后时间，min 温升速率，K/min
1 3
10 7.136 21.41 20 9.463 28.39 30 10.19 30.57