专题51 直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题
考纲要求:
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想．
基础知识回顾:
1．直线与圆锥曲线的位置关系
学 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
??Ax＋By＋C＝0，由?
?fx，y＝0，?
2
消元．(如消去y)得ax＋bx＋c＝0.
2
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a≠0，设Δ＝b－4ac.
a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长： |P1P2|＝
1
1＋2|y1－y2|
＋k2
x1＋x2
2
－4x1x2]＝1＋k·|x1－x2|＝
2
＋
1
k2
y1＋y2
2
－4y1y2]＝
k(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．
应用举例:
类型一 椭圆的焦点三角形
【例1】设椭圆C： ，，分别为左、右焦点，B为短轴的一个端点，且，
椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程； （2）若点P是椭圆上一点，
，求点P的坐标.
【答案】（1）【解析】 【分析】
；（2）．
(1)由题意，列出方程组
，由
，求得
，求得的值，即可得到椭圆的方程； (2)设点
，代入椭圆方程求得的值，即可得到答案.
(2)设点
，由
得，代入椭圆方程： 得
所以
所以点的坐标为：【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程和简单的几何性质，列出相应的方程，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
【例2】【宁夏银川一中2018届高三第四次模拟】设，分别是椭圆C：斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点． Ⅰ求
的周长；
的左、右焦点，过且
Ⅱ若存在直线l，使得直线，AB，与直线分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R
到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．
【答案】（1）【解析】 【分析】 Ⅰ
的周长为
；
，因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比
（2）
．
Ⅱ由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为数列，所以
，联立
与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，即可得出结论．
设 ，，显然，，
所以直线的方程为
故直线与直线交点P的纵坐标为
同理，点R的纵坐标为