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2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(二)
24. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运
动的速度分别为 1， 3，2(长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘
l从x轴的位置开始以
3
3
(长度单
位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持
l∥x轴），且分别与 OB，AB交于E，F两点﹒
设动点P与动直线l同时出发，运动时间为
t秒，当点 P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线
l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是
▲
；
y
B
（2）当t﹦4时，点P的坐标为▲；当t﹦▲，点P与点E重合；
（3）① 作点P关于直线 EF的对称点 P′.在运动过程中，若形
E F l
成的四边形 PEP′F为菱形，则 t的值是多少？
② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP?若存
在 ,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）y
OP (第 24题
Ax
3x33；???4分
（2）（0,
3
），t
9；??
y B
2
4分（各2分）
（3）①当点P在线段
∵OE
AO
上时，过F作
FGG
⊥x轴，为垂足（如图
∠FGP
PG﹒
1）
FG,EPFP,∠EOP 90°
P′
∴△EOP≌△FGP
，∴OP
3 t
,∠A60°,∴AG 3 3
E
F
又∵OE
FG
FG tan60APAG
2 t 3
0
1 3
O
t
PGA
x
(图1)
而AP
t，∴OP
t
,PG
y
B M E H
P
由3t
2 t得t 3
9 ；??????? 5
1分
F
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P在线段BA上时，
P′
过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图
2）
O
A
（图2)
x
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∵OE
3
t,∴BE
33
3 3
t,∴EF
BE tan600
2(t6)
3
t 3
3
∴MP
EH
1 EF 2
9t
，又∵BP
0
6
在Rt△BMP 中，BP cos60 即2(t
MP
6) 1 9
2 6
t
，解得t
45
7
．???????????????????
1分
②存在﹒理由如下：
∵t2，∴OE
y
1
2
3
3,AP2，OP
B
将 △BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△BEC
（如图3）
∵ OB⊥EF，∴点B在直线EF上， C点坐标为（
2
3，2C1
Q′ D1 E
F
B′
3
3－1） 3
C
Q O
P
BCEC
过 F作FQ∥，交于点Q,
则 △FEQ∽△BEC
Ax
(图3)
由BE
FE
BE
FE CE QE
3，可得Q的坐标为（－
2， 3
3 ）????????? 3
1分
根据对称性可得， Q关于直线EF的对称点Q
2
（－
2
， 3）也符合条件．??
1分
3
2
24.(绍兴市)如图,设抛物线
B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2.
C1:yax15,C2:y ax15,C1
与C2的交点为A,
（ 1）求a的值及点B的坐标；
（ 2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在 DH的右侧作正三角形DHG.记过C2顶点Ｍ的 直线为l,且l与x轴交于点N.
①若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1,2)，求点N的横坐标；
② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
第 24题图
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解：（1）∵点A(2,4)在抛物线
∴抛物线C1的解析式为y 设B(－2,b)，
（2）①如图1，
∵M(1,5)，D(1,2),
C1上，∴
2
把点A坐标代入yax1
2
5 得a=1.
x 2x 4,
∴b＝－4,
∴B(－2,－4).
且DH⊥x轴，∴点M在DH上，MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG= 3,EH=1，
∴ME＝4.
设 N(x,0),则NH＝x－1, 由△MEG∽△MHN,得
ME
EG
,
MH
HN ∴4
3, ∴x 5
31,
5
x
1
4 ∴点N的横坐标为
5
3
1 ．
4
②当点Ｄ移到与点
A重合时,如图2，
直线l与DG交于点
G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点 Ｑ,F,
设Ｎ（x，0），
∵ A(2,4),
∴ G(2 23 ,2),
∴
NQ=x
2
2 3，ＮF=x
1,GQ=2,MF=5.
∵△NGQ∽△NMF，
∴NQ GQ
,
NF MF
∴x2
2
3
2
,
x 1
5
10 3 8
∴ x
3 .
当点D移到与点B重合时,如图3，
直线l与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵
B(－2, －4),
∴
H(－2,0),D(－2,－4),
设N（x，0），
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第 24题图1
第 24题图2
第24题图3
图 4