2018届二轮复习 解析几何中的范围、定值和探索性问题 学案(全国通用)

难点四

解析几何中的范围、定值和探索性问题

(对应 生用书第68页)

解析几何中的范围、定值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点,主要以解答题形式考查,一般以椭圆为背景,考查范围、定值和探索性问题,试题难度较大.复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方法,掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用,掌握使用根与系数的关系进行整体代入的解题方法;其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用,如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数,通过函数的最值研究几何中的最值.下面对这些难点一一分析:

1.圆锥曲线中的定点、定值问题

该类问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证明,难度较大.定点、定值问题是在变化中所表现出 的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

x2y2

【例1】 (2017·江苏省南京市迎一模模拟)设椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的离心

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3

率e=2,直线y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切.

(1)求椭圆C的方程;

1

(2)设直线x=2与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆D,若圆D与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABD的面积;

(3)如图1,A1,A2,B1,B2是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线B2P交x轴于点F,直线A1B2交A2P于点E,设A2P的斜率为k,EF的斜率为m,求证:2m-k为定值.

【导 号:56394098】

图1

[解] (1)∵直线y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切,

|0-2|∴=b,化为b=1.

2

3c

∵离心率e=2=a,b2=a2-c2=1,联立解得a=2,c=3. x22

∴椭圆C的方程为4+y=1;

1115

(2)把x=2代入椭圆方程可得:y2=1-16,解得y=±4. 15?1?

∴⊙D的方程为:?x-2?2+y2=16.

??

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11

令x=0,解得y=±4,

111111111

∴|AB|=2,∴S△ABD=2|AB|·|OD|=2×2×2=8. (3)证明:由(1)知:A1(-2,0),A2(2,0),B2(0,1), 1

∴直线A1B2的方程为y=2x+1,

1

由题意,直线A2P的方程为y=k(x-2),k≠0,且k≠±2,

?y=1

2x+1,

由?

?y=k?x-2?,

?4k+24k???. ,解得E???2k-12k-1?

?y=k?x-2?,

设P(x1,y1),则由?x2

2+y?4=1,

∴2x1=

16k2-44k2+1

,∴x1=

8k2-24k2+1

得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0.

,y1=k(x1-2)=

-4k4k2+1

.

?8k2-2-4k??. ,∴P?22?4k+14k+1?

??

设F(x2,0),则由P,B2,F三点共线得,kB2P=kB2F. -4k即4k+18k2-24k2+1

2

-1

-0

?4k-2?

?. ,0=,∴x2=,∴F??2k+1?x2-02k+1??0-1

4k-2

4k

∴EF的斜率m=

2k-14k+2

-0

2k-1

2k+1

=4. 4k-22k+1

2k+11

∴2m-k=2-k=2为定值.

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