第五章
5-1 有一弹簧振子，振幅A?2.0?10?2m，周期T?1.0s，初相??3?/4.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。
分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。 解：振动方程为：x?Acos[?t??]?Acos[代入有关数据得：x?0.02cos[2?t?振子的速度和加速度分别是：
2?t??] T3?](SI) 43?](SI) 43?a?d2x/dt2??0.08?2cos[2?t?](SI)
4v?dx/dt??0.04?sin[2?t?5-2若简谐振动方程为x?0.1cos[20?t??/4]m，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s时的位移、速度和加速度.
分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。
解：(1)可用比较法求解.根据x?Acos[?t??]?0.1cos[20?t??/4] 得：振幅A?0.1m，角频率??20?rad/s，频率???/2??10s?1， 周期T?1/??0.1s，???/4rad
（2）t?2s时，振动相位为：??20?t??/4?(40???/4)rad 由x?Acos?，???A?sin?，a??A?2cos????2x得 x?0.0707m,???4.44m/s,a??279m/s2
5-3质量为2kg的质点，按方程x?0.2sin[5t?(?/6)](SI)沿着x轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；
（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.
分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。 解：（1）跟据f?ma??m?2x，x?0.2sin[5t?(?/6)] 将t?0代入上式中，得：f?5.0N
（2）由f??m?2x可知，当x??A??0.2m时，质点受力最大，为f?10.0N 5-4为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率
?1?1.0Hz；而当将另一已知质量为m'的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为?2?2.0Hz.
设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量. 分析 根据简谐振动频率公式比较即可。
解：由??12?k/m，对于同一弹簧（k相同）采用比较法可得：
?1m' ??2m解得：m?4m'
5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A?2.0?10?2m，周期T=0.5s，当t=0时， （1）物体在正方向端点；
（2）物体在平衡位置，向负方向运动；
（3）物体在x?1.0?10?2m处，向负方向运动； （4）物体在x??1.0?10?2m处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。
分析 根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。进而得出各种情况的振动方程。 解：设所求振动方程为：x?Acos[由A旋转矢量图可求出
2?t??]?0.02cos[4?t??] T?1?0,?2??/2,?3??/3,?4?2?/3
题图5-5
（1）x?0.02cos[4?t](SI)（2）x?0.02cos[4?t?（3）x?0.02cos[4?t??2](SI) 2?](SI) 3?3](SI)（4）x?0.02cos[4?t?5-6在一轻弹簧下悬挂m0?100g砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂m?250g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（令这时t=0）.选x轴向下，求振动方程.
分析 在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。 解：弹簧的劲度系数k?m0g/?l。
当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：
x?Acos[?t??]
角频率为??k/m代入数据后求得??7rad/s
以平衡位置为原点建立坐标，有：x0?0.04m,v0??0.21m/s 据A?x0?(v0/?)2得：A?0.05m
x0得???0.64rad由于v0?0,应取??0.64(rad) A2据???cos?1于是，所求方程为：x?0.05cos(7t?0.64)(m) 5-7 某质点振动的x-t曲线如题图5－7所示.求： （1）质点的振动方程；
（2）质点到达P点相应位置所需的最短时间.
分析 由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确定最短时间。
解：（）设所求方程为：1x?Acos(?t??0)从图中可见，t?0,x0?A/2,v0?0由旋转矢量法可知；?0??又Qt?1s,?t???3
?3??2??5?6题图5-7
5??t?)m63（2）QP点的相位为0故：x?0.1cos(??tp??0?5??tp??0tp?0.4s 63即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s5-8有一弹簧，当下面挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8?10?2m.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.
（1）当t＝0时，物体在平衡位置上方8.0?10?2m，由静止开始向下运动，求振动方程. (2) 当t＝0时，物体在平衡位置并以0.6m/s的速度向上运动，求振动方程. 分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程。 解：设所求振动方程为：x?Acos(?t??)