基本不等式的应用
一、忽视基本不等式探求最值成立条件“正”而致错
例1已知y?ax?a?0,a?1?是增函数,且a2?a?6?a?Z?,求函数f?x??x?域.
错解易得a?2,f?x??x?f?x??x?2, xa的值x22?22,当且仅当x?,即x?2时等号成立. xxa的值域是??22,??. x所以函数f?x??x??剖析本题忽视了自变量x的范围,想当然地误认为x??0,???,也忽视了应用基本不等式求最值的前提条件.
实际上,当x?0时,?x?0,此时??x??2?22, ??x?所以f?x??x??22?2?????x??当且仅当?x?,即x??2时等号成立. ???22,x?x?x???????故正确答案为??,?22????22,??.
??变式1实数a,b满足ab?1,则a?b的取值范围是. 答案???,?2???2,???.
二、忽视基本不等式探求最值成立条件“定”而致错 例2已知f?x??x?错解当x?2时,f?x??x?3?x?2?,求f?x?的最小值. x?23?0,则 x?2333,当且仅当x?,即x?3时等号成立,此时f?x??6. ?2x?x?2x?2x?2所以f?x?的最小值是6.
剖析应用基本不等式求最值时必须满足“和为定值”或“积为定值”,本题解法中,f?x??x?333的右边不是定值,这样由x?得到的x对应的值一般不是?2x?x?2x?2x?2最小值.
实际上,f?x??x?33??x?2???2?23?2, x?2x?2当且仅当x?2?3,即x?2?3时等号成立. x?2所以f?x?的最小值是23?2. 变式2实数a?3,则代数式答案?1. 例3设0?x?3,则f?x??4x?3?2x?的最大值是. 23,则4x?0,3?2x?0, 24?a的最大值是. a?3错解由于0?x?所以
4x??3?2x?2?4x?3?2x?,
22?4x??3?2x???2x?3?1因此f?x??4x?3?2x???????,当且仅当4x?3?2x,即x?时
22???2??2x?3?等号成立,此时f?x??4x?3?2x?????4.
?2?2所以f?x??4x?3?2x?的最大值是4.
?2x?3?剖析本题解法中,f?x??4x?3?2x????的右边不是定值,这样由4x?3?2x得
?2?2到的x对应的值一般不是最大值.
?2x??3?2x??9实际上,f?x??4x?3?2x??2?2x?3?2x??2????,
2??2当且仅当2x?3?2x,即x?3时等号成立 49. 22所以f?x??4x?3?2x?的最大值是
2y2变式3设x?0,y?0,x??1,则x1?y2的最大值是.
2答案32. 4三、忽视基本不等式探求最值成立条件“等”而致错 例4求函数f?x??x2?a?1x?a2?x?0?的最小值.
1x?a2错解f?x??x2?a?1x?a2?x2?a??2,
当且仅当x2?1?a时,等号成立. 所以f?x?的最小值是2.
剖析应用基本不等式求最值时,f?x??2的内涵是f?x??2或者f?x??2,但是,2是不是最小值取决于f?x??2是否成立,如果只有f?x??2,f?x??2是正确的,那么2就不是最小值.
实际上,(1)当a?1时,当且仅当x?1?a时,等号成立,所以fmin?2. (2)当a?1时,令t?x2?a?a?1,则:
1a,??单调递增. ?t?在t???2tx?a1f?x??x2?a?1x2?a?x2?a??∴当t?a,即x?0时,fmin?a?1a?1. ?aa故函数f?x??x?a?1x?a22?x?0?的最小值为fmin?2 ?a?1????a?1.
a?1???a?变式4函数f?x??x2?5x?42?x?0?的最小值是.
答案
5. 2四、忽视基本不等式探求最值成立条件“正-定-等”的顺序而致错 8例5当x?0时,求函数f?x??x2?的最小值.
x8错解因为x?0,x2?0,?0,则
xf?x??x2?8?28x?42x, x当且仅当x2?8,即x?2时,等号成立,此时f?x??8 x8?x?0?的最小值为8. x故函数f?x??x2?剖析应用基本不等式求最值时,必须遵循“一正二定三相等”的顺序解决问题.此类844
问题首先将“平均拆分”为?,“凑”出和或积的定值,然后再考查等号,而不是“正
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