基本不等式的应用
一、忽视基本不等式探求最值成立条件“正”而致错
例1已知y?ax?a?0,a?1?是增函数，且a2?a?6?a?Z?，求函数f?x??x?域．
错解易得a?2，f?x??x?f?x??x?2， xa的值x22?22，当且仅当x?，即x?2时等号成立． xxa的值域是??22,??． x所以函数f?x??x??剖析本题忽视了自变量x的范围，想当然地误认为x??0,???，也忽视了应用基本不等式求最值的前提条件．
实际上，当x?0时，?x?0，此时??x??2?22， ??x?所以f?x??x??22?2?????x??当且仅当?x?，即x??2时等号成立． ???22，x?x?x???????故正确答案为??,?22????22,??．
??变式1实数a,b满足ab?1，则a?b的取值范围是． 答案???,?2???2,???．
二、忽视基本不等式探求最值成立条件“定”而致错 例2已知f?x??x?错解当x?2时，f?x??x?3?x?2?，求f?x?的最小值． x?23?0，则 x?2333，当且仅当x?，即x?3时等号成立，此时f?x??6． ?2x?x?2x?2x?2所以f?x?的最小值是6．
剖析应用基本不等式求最值时必须满足“和为定值”或“积为定值”，本题解法中，f?x??x?333的右边不是定值，这样由x?得到的x对应的值一般不是?2x?x?2x?2x?2最小值．
实际上，f?x??x?33??x?2???2?23?2， x?2x?2当且仅当x?2?3，即x?2?3时等号成立． x?2所以f?x?的最小值是23?2． 变式2实数a?3，则代数式答案?1． 例3设0?x?3，则f?x??4x?3?2x?的最大值是． 23，则4x?0,3?2x?0， 24?a的最大值是． a?3错解由于0?x?所以
4x??3?2x?2?4x?3?2x?，
22?4x??3?2x???2x?3?1因此f?x??4x?3?2x???????，当且仅当4x?3?2x，即x?时
22???2??2x?3?等号成立，此时f?x??4x?3?2x?????4．
?2?2所以f?x??4x?3?2x?的最大值是4．
?2x?3?剖析本题解法中，f?x??4x?3?2x????的右边不是定值，这样由4x?3?2x得
?2?2到的x对应的值一般不是最大值．
?2x??3?2x??9实际上，f?x??4x?3?2x??2?2x?3?2x??2????，
2??2当且仅当2x?3?2x，即x?3时等号成立 49． 22所以f?x??4x?3?2x?的最大值是
2y2变式3设x?0,y?0,x??1，则x1?y2的最大值是．
2答案32． 4三、忽视基本不等式探求最值成立条件“等”而致错 例4求函数f?x??x2?a?1x?a2?x?0?的最小值．
1x?a2错解f?x??x2?a?1x?a2?x2?a??2，
当且仅当x2?1?a时，等号成立． 所以f?x?的最小值是2．
剖析应用基本不等式求最值时，f?x??2的内涵是f?x??2或者f?x??2，但是，2是不是最小值取决于f?x??2是否成立，如果只有f?x??2，f?x??2是正确的，那么2就不是最小值．
实际上，（1）当a?1时，当且仅当x?1?a时，等号成立，所以fmin?2． （2）当a?1时，令t?x2?a?a?1，则：
1a，??单调递增． ?t?在t???2tx?a1f?x??x2?a?1x2?a?x2?a??∴当t?a，即x?0时，fmin?a?1a?1． ?aa故函数f?x??x?a?1x?a22?x?0?的最小值为fmin?2 ?a?1????a?1．
a?1???a?变式4函数f?x??x2?5x?42?x?0?的最小值是．
答案
5． 2四、忽视基本不等式探求最值成立条件“正-定-等”的顺序而致错 8例5当x?0时，求函数f?x??x2?的最小值．
x8错解因为x?0，x2?0,?0，则
xf?x??x2?8?28x?42x， x当且仅当x2?8，即x?2时，等号成立，此时f?x??8 x8?x?0?的最小值为8． x故函数f?x??x2?剖析应用基本不等式求最值时，必须遵循“一正二定三相等”的顺序解决问题．此类844
问题首先将“平均拆分”为?，“凑”出和或积的定值，然后再考查等号，而不是“正
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