龙岩一中2021届高一实验班选拔考试
数 学
（考试时间：90分钟 满分：100分）
友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
31．若b?1?a?b，则a?b,(a?b),3a?b,1一定是（ ） a?b1最小，(a?b)3最大 B．3a?b最小，a?b最大 a?b11C．最小，a?b最大 D．最小，3a?b最大
a?ba?bA．
2．如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，
APy P为AB 边上的一个动点，设AP=x，图1中
线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系 的图象如图2所示，则△ABC的面积为( ) A．
32DC3 B．1 C．3 D．3 2BO x 图1 图2
3．如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的不等式组?为（ ） A．2
?x?a?32有解，则函数y?(a?4)x?2x?1图象与x轴的交点个数
?x?3a?3B．1或2
C．1
D．0
5．满足等式xy?yx?19x?19y?19xy?19的正整数对(x,y)的个数是( ) A. 19 B. 18 C．1 D．2
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6．如果a,b为质数,且a2?9a?m?0,b2?9b?m?0,那么 A．
ab
?的值为( ) ba
51535351 B．或2 C． D．或2 141414147．有直径为4及12的两个圆柱，如图所示放置，且用金属线捆绑 在一起，则环绕着它们的最短金属线长为( ) A．83?28?
3 B．83?9? D．83?16? C．163?56?
338．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD:DE:EC=5:3:2， M在AC边上，CM:MA=2:3，BM交AD，AE于H，G，则BH:HG:GM 等于（ ） A．5:3:2 C．115:45:24
B．38:15:8 D．51:24:10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
9．从如图所示的四个带圆圈的字母中，任取两个字母（既可以是相邻也可以是相对的两个字母）相互交换它们的位置，交换一次后能使A、B两字母在相对位置上的概率是____________．
222210．在?ABC中，若O为边BC的中点，则必有AB?AC?2AO?2OB成立.依据以上结
A D B C 论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知
DE?a,EF?a?1(3?a?5)，点P在以DE为直
22 径的半圆上运动，则PF?PG的最小值为_______．
11．物质M与物质N分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形
BCDE的周界做环绕运动，物质M按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质N按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第10次相遇地点的坐标是 ．
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12．已知关于x的方程x4?2x3?(3?k)x2?(2?k)x?2k?0有实根．若所有实根的平方和为7，则所有实根之积为_______．
13．如图，直径为AB的半圆O上有两点P、Q，PC⊥AB于C，QD⊥AB于D，QE⊥OP于E，AC＝8，DE＝12，则圆O的直径＝______．
14．已知a是正整数，且a2?60a是一个正整数的平方，则a的最大值为_______． 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 15．（本题8分）
x2?x?22先化简，再求值：x?2x?1??(?1)，其中x?3?1. 2x?1x?1216．（本题10分）
如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，圆O经过B点且与AI相切于I点．
（1）证明△ABC是等腰三角形；
（2）若BC=18，圆O的半径是5，求AI的长．
17.（本题10分）
某公司用50万元作为景区A的改造费用，已于当年年初改造完毕并开放景区A.已知该公司经营景区A的固定成本为每年10万元，其它成本为每名游客10元，在经营过程中发现：每年的游客量y（千人）与门票价格
x（元/人）
（10?x?50）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设该公司经营景区A的年利润为z（万元）.
（1）求出每年的游客量y（千人）与x（元/人）之间的函数关系式；
（2）利用第一年该公司经营景区A的年利润
z（万元）与x（元/人）之间的函数关系式，求
出第一年年利润的最大值.
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