小初高试卷教案类
专题四 平面向量
———————命题观察·高考定位———————
(对应学生用书第12页)
→→→
1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，2，→→→→→→→
OA与OC的夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.
图4－1
3 [法一 因为tan α＝7，所以cos α＝
272，sin α＝. 1010
→→→
过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，则OC＝OD＋DC，∠OCD＝45°. →→→又因为OC＝mOA＋nOB， →→→→所以OD＝mOA，DC＝nOB， →→
所以|OD|＝m，|DC|＝n.
→→→|DC||OD||OC|
在△COD中，由正弦定理得＝＝，
sin αsin∠OCDsin∠ODC因为sin ∠ODC＝sin (180°－α－∠OCD) 4
＝sin (α＋∠OCD)＝，
5
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即
n7210
＝m2＝， 24
52
75
所以n＝，m＝，所以m＋n＝3.
44
17
法二 由tan α＝7可得cos α＝，sin α＝，
5252→→→→
1OA·OCm＋nOA·OB则＝＝，
→→522|OA||OC|
→→→→
22OB·OCmOA·OB＋n由cos∠BOC＝可得＝＝，
22→→2
|OB||OC|
cos ∠AOB＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝
152
×2723－×＝－， 25225
→→3313
则OA·OB＝－，则m－n＝，－m＋n＝1，
5555226
则m＋n＝，则m＋n＝3.] 555
2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分→→→→→→
点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．
图4－2
→→→→→→7
[由题意，得BF·CF＝(BD＋DF)·(CD＋DF) 8
→→→→→→
22
＝(BD＋DF)·(－BD＋DF)＝DF－BD →→
22
＝|DF|－|BD|＝－1，① →
→→→→→BA·CA＝(BD＋DA)·(CD＋DA) →→→→＝(BD＋3DF)·(－BD＋3DF) K12小学初中高中
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→→22
＝9DF－BD
→→
22
＝9|DF|－|BD|＝4.② →5→2132
由①②得|DF|＝，|BD|＝. 88→→→→→→
∴BE·CE＝(BD＋DE)·(CD＋DE) →→→→→→
22
＝(BD＋2DF)·(－BD＋2DF)＝4DF－BD →→513722
＝4|DF|－|BD|＝4×－＝.] 888
3．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．
－3 [∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
??2m＋n＝9，∴?
?m－2n＝－8，?
??m＝2，
∴?
?n＝5，?
∴m－n＝2－5＝－3.]
→12
4．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝
23→
λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
→→→2→1→2→→1→11→2→1
[由题意DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝－AB＋AC，于是λ1＝－，2323263621λ2＝，故λ1＋λ2＝.] 32
→5．(2014·江苏高考) 如图4－3，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝→→→→→
3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________.
【导学号：56394021】
→
图4－3
→→→1→1→→→→→1→→→→→1→
22 [由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－
4444
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