证明：
(1) 要证明两个方向上是无限周期1/?T，只需证明
根据如下式子：
可得：
其中上式第三行，由于k, n是整数，且和的极限是关于原点对称。 (2) 同样的需要证明
根据如下式子：
~?~F????????????f?t?e?j2??tdt????n?????f?t???t?n?T?e?j2??tdtf?t???t?n?T?e?j2??tdt
n?????????fne?j2??n?Ttn???可得：
其中第三行由于k, n都为整数，所以
e?j2?kn?1。
4.3 可以证明（Brancewell[2000]）1??(t)和1??(t)。
使用前一个性质和表4.3中的平移性质，证明连续函数f(t)?cos(2?nt)的傅立叶变换是F?????1/2???????n??????n???，其中是一个实数。 证明：
根据一维傅里叶变换公式：
可得：
F(u)? ??????f(t)e?j2?utdt???cos(2?nt)e?j2?utdt????1 ?21 ?2??[ej2?nt?e?j2?nt]e?j2?utdtj2?nt?j2?ut
??ee1dt? 2????e?j2?nte?j2?utdt根据傅里叶变换性质可得：
根据一个常数f(t)=1的傅里叶变换是一个脉冲响应可得：
所以可得如下两个等式：
(1)ej2?nt??(??n)(1)e-j2?nt??(?+n)
所以：
F(u)?1??(u?n)??(u?n)? 24.4 考虑连续函数f(t)?cos(2?nt)
(a) f?t?的周期是多少？(b)f?t?的频率是多少?
(a) 根据2?nt?2?，所以周期为t?1/n
(b) 频率为n，给定的正弦波的连续傅立叶变换如在图。 P4.4（a）（见习题4.3），采样数据（示出了几个期间）的变换所示的一般形式的如图P4.4（b）（虚线框是一个理想的过滤器，将允许重建如果该正弦函数进行采样，采样定理满意）。
4.8
解：
(a) 根据正交性，将式(4.4-5)直接代入式(4.4-4)得
最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式(4.4-4)代入式(4.6-5)应用同样的过程生成fn的相似特性。
(b) 如上小题，根据正交性，将式(4.4-7)直接代入式(4.4-6)得
最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式(4.4-6)代入式(4.6-7)应用同样的过程生成f?x?的相似特性。
4.9证明式(4.4-8) F?u?kM??F?u?和式(4.4-9) f?x?kM??f?x?的正确性。 证明：
(1) 证明等式F?u?kM??F?u?k?0,?1,?2...
M?1n?0将u?u?kM代入4.4.6式F?u???f(x)e?j2?ux/M,u?0,1,2,,M?1 ：
F?u?kM???f(x)e?j2?(u?kM)x/Mn?0M?1?M?1?j2?ux/M??j2?kx ???f(x)e?e?n?0? ?F(u)最后一步因为k和x都是整数，e?j2?kx
?1。
,u?0,1,2,,M?1
(2) 同理可以对4.4.9式周期性的证明，将u?u?kM代入4.4.7式
1f?x??MM?1n?0?F(u)ej2?ux/M1f?x?kM??MM?1n?0j2?(u?kM)x/MFue???1?M?1j2?ux/M?j2?kx ?Fuee?????M?n?0? =f?x?
4.10 证明一个变量的离散卷积定理的正确性[见式(4.2-21)、式(4.2-22) 和式(4.2-10) ]。 证明：
证明卷积定理等价于证明
f(x)?h(x)?F(u)H(u)
和
f(x)h(x)?F(u)?H(u)
从式4.4.10f(x)?h(x)??f(m)h(x?m)
m?0M?1和式4.4.6F?u???f(x)e?j2?ux/M,u?0,1,2,n?0M?1,M?1离散傅里叶变换的定义，得
到：
????f(x)?h(x)?????f(m)h(x?m)?e?j2?ux/Mx?0?m?0?M?1?M?1?j2?ux/M? ??f(m) ??h(x?m)e?m?0?x?0? ??f(m) H(u)e?j2?um/Mm?0M?1M?1M?1
?H(u)?f(m) e?j2?um/Mm?0M?1 ?H(u)F(u)同理可以证明f(x)h(x)?F(u)?H(u)
??j2?ux/M??Fu?Hu?F(m)H(t?m)???????????ex?0?m?0??1M?1M?1?M?1? ??F(m) ??H(t?m)ej2?ux/M?m?0?x?0? ??F(m)h(x)ej2?um/Mm?0M?1M?1 ?h(x)?f(m) ej2?um/Mm?0M?1
?h?x?f?x?4.11 写出二维连续卷积的表达式
对4.2.20式进行卷积运算得到：