数字图像处理第三版中文答案--冈萨雷斯

证明:

(1) 要证明两个方向上是无限周期1/?T,只需证明

根据如下式子:

可得:

其中上式第三行,由于k, n是整数,且和的极限是关于原点对称。 (2) 同样的需要证明

根据如下式子:

~?~F????????????f?t?e?j2??tdt????n?????f?t???t?n?T?e?j2??tdtf?t???t?n?T?e?j2??tdt

n?????????fne?j2??n?Ttn???可得:

其中第三行由于k, n都为整数,所以

e?j2?kn?1。

4.3 可以证明(Brancewell[2000])1??(t)和1??(t)。

使用前一个性质和表4.3中的平移性质,证明连续函数f(t)?cos(2?nt)的傅立叶变换是F?????1/2???????n??????n???,其中是一个实数。 证明:

根据一维傅里叶变换公式:

可得:

F(u)? ??????f(t)e?j2?utdt???cos(2?nt)e?j2?utdt????1 ?21 ?2??[ej2?nt?e?j2?nt]e?j2?utdtj2?nt?j2?ut

??ee1dt? 2????e?j2?nte?j2?utdt根据傅里叶变换性质可得:

根据一个常数f(t)=1的傅里叶变换是一个脉冲响应可得:

所以可得如下两个等式:

(1)ej2?nt??(??n)(1)e-j2?nt??(?+n)

所以:

F(u)?1??(u?n)??(u?n)? 24.4 考虑连续函数f(t)?cos(2?nt)

(a) f?t?的周期是多少?(b)f?t?的频率是多少?

(a) 根据2?nt?2?,所以周期为t?1/n

(b) 频率为n,给定的正弦波的连续傅立叶变换如在图。 P4.4(a)(见习题4.3),采样数据(示出了几个期间)的变换所示的一般形式的如图P4.4(b)(虚线框是一个理想的过滤器,将允许重建如果该正弦函数进行采样,采样定理满意)。

4.8

解:

(a) 根据正交性,将式(4.4-5)直接代入式(4.4-4)得

最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件,将式(4.4-4)代入式(4.6-5)应用同样的过程生成fn的相似特性。

(b) 如上小题,根据正交性,将式(4.4-7)直接代入式(4.4-6)得

最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件,将式(4.4-6)代入式(4.6-7)应用同样的过程生成f?x?的相似特性。

4.9证明式(4.4-8) F?u?kM??F?u?和式(4.4-9) f?x?kM??f?x?的正确性。 证明:

(1) 证明等式F?u?kM??F?u?k?0,?1,?2...

M?1n?0将u?u?kM代入4.4.6式F?u???f(x)e?j2?ux/M,u?0,1,2,,M?1 :

F?u?kM???f(x)e?j2?(u?kM)x/Mn?0M?1?M?1?j2?ux/M??j2?kx ???f(x)e?e?n?0? ?F(u)最后一步因为k和x都是整数,e?j2?kx

?1。

,u?0,1,2,,M?1

(2) 同理可以对4.4.9式周期性的证明,将u?u?kM代入4.4.7式

1f?x??MM?1n?0?F(u)ej2?ux/M1f?x?kM??MM?1n?0j2?(u?kM)x/MFue???1?M?1j2?ux/M?j2?kx ?Fuee?????M?n?0? =f?x?

4.10 证明一个变量的离散卷积定理的正确性[见式(4.2-21)、式(4.2-22) 和式(4.2-10) ]。 证明:

证明卷积定理等价于证明

f(x)?h(x)?F(u)H(u)

f(x)h(x)?F(u)?H(u)

从式4.4.10f(x)?h(x)??f(m)h(x?m)

m?0M?1和式4.4.6F?u???f(x)e?j2?ux/M,u?0,1,2,n?0M?1,M?1离散傅里叶变换的定义,得

到:

????f(x)?h(x)?????f(m)h(x?m)?e?j2?ux/Mx?0?m?0?M?1?M?1?j2?ux/M? ??f(m) ??h(x?m)e?m?0?x?0? ??f(m) H(u)e?j2?um/Mm?0M?1M?1M?1

?H(u)?f(m) e?j2?um/Mm?0M?1 ?H(u)F(u)同理可以证明f(x)h(x)?F(u)?H(u)

??j2?ux/M??Fu?Hu?F(m)H(t?m)???????????ex?0?m?0??1M?1M?1?M?1? ??F(m) ??H(t?m)ej2?ux/M?m?0?x?0? ??F(m)h(x)ej2?um/Mm?0M?1M?1 ?h(x)?f(m) ej2?um/Mm?0M?1

?h?x?f?x?4.11 写出二维连续卷积的表达式

对4.2.20式进行卷积运算得到:

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