习题(2)

eji(1?ejnt), jtn(1?e)则?以概率

1取值1,2,?,n. n4. 求下列各随机变数的概率分布。其特征函数分别为:

a)cost;

b)cos2t.

5. 设随机变数?的分布函数为F(x),F(x)边续且严格单调。求:

a)??aF(?)?b;

b)??lnF(?)的特征函数。

6. 设F(x)是随机变数?的分布函数。?(t)为?的特征函数。令

1x?hF(y)dy, ?x?h2hsinht?(t). 其中h?0为常数,则G(x)的相应的特征函数为htG(x)?8. 证明:特征函数?(t)是实值的充要条件是其相应的分布函数F(x)是对称的(即F(x)满足:

F(x)?1?F(?x?0)).

9. 求证:对任何实特征函数?(t),以下二不等式成立:

1??(2t)?4(1??(t)),1??(2t)?2[?(t)].2

10. 试证:满足下列各等式的连续函数?(t)是特征函数: i) ?(t)??(?t); ii) ?(t?2a)??(t); iii) ?(t)?a?t (0?t?a), a其中a是正常数。

11. 证明:若?1,?2,?,?n相互独立。都服从正态N(0,1)分布,则分布。

1??nk?1nk也服从正态N(0,1)习题5

1. 设?(x)?e?2???1x?y22dy.试证明对每一x?0,有

?x1212?e1?21?11???1??(x)?e?. ?3?x2??xx?x23. 试证明:如果?(x)是正的单调递增函数。而E[?(?)]?m存在。则

P(??t)?m/?(t).

25. 设?n?a,?n?b(a,b为常数且b?0),证明:1)?n???a2; 2)

PPP?nPa???. ?bn6. 若?n????,是否有E(?n)?E(?)?

P7. 设f(x)在(0,?)上连续、单调上升。f(0)?0且supf(x)??。证明:?n???0等价于

x?0PlimE[f(?n)]?0。

n??8.设??k?(k?1,2,?)为随机序列,且

W?k???c,

其中c为常数,则

P?k???c.

WP9.设??k?(k?1,2,?)及??k?(k?1,2,?)是两个随机序列,且?k?? ??,?k???0.证明:

W?k??k????.

10.将n个带有号码1至n的球投入n个编有号码1至n的匣子.并限制每一个匣子只能放进一个球,设球与匣子的号码一致的个数是sn.试证:

sn?E(sn)P???0. n12.设g(x)是???x???上的连续函数,且?n????,则g(?n)???g(?).

PP?n?13.(马尔可夫大数定律)设随机序列??k?对任一正整数n均有D???k???,而且

?k?1?1?n?lim2D???k??0 n??n?k?1?则??k?服从大数定律,亦即,对任意??0,有

?1n?limP????k?E(?k)?????0. n???nk?1?15.证明:若??k?,??k?都服从大数定律,则??k??k?也服从大数定律.

16.设?n服从参数为n,pn的二项分布,若当n??时npn??,用特征函数法证明??n?的极限分布是参数为?的泊松分布.

17.用特征函数证明辛钦大数定律.

18.设随机序列??k?相互独立且满足

1??k, 概率为,??2?k??(jk?1,2,?)

??k?, 概率为1,??2证明:当??1时??k?服从大数定律. 2 19.已知独立随机序列??k?具有同一分布函数:

F(x)?11x?arctg 2?a1发生,是否可以用大于0.975的概率确信:在1000次试验2试验证:辛钦大数定律对此序列是否适用. 20.在每次试验中,事件A以概率

中,事件A出现的次数在400与600范围内?

21.试确定:由以下给定分布的相互独立的随机序列??k?是否满足使用大数定律的充分条件?

1

a) P(?k??2k)?;

2

b) P(?k??2k)?2?(2k?1), P(?k?0)?1?2?2k1?1

c) P(?k??k)?k2

2 P(?k?0)?1?k.

22. 随机序列

?12

??k?具有相同的期望与方差。如果所有的协方差

bij?E(?i?E(?i))(?j?E(?j))?0(i?j),问大数定律对此序列是否适用?

23. 设有这样一个随机序列??k?,其?k仅与?k?1相关,而与其它所有的?j不相关。若D(?k)一致有限,证明大数定律对此??k?成立。

24. 已知随机序列九牛二虎之力方差皆为有限,D(?k)?C(C为常数)。并且当)证明:大数定律对此序列适用。 i?j??时,?ij?0. (?ij为?i与?j的相关系数。

25. 证明:如果对于独立随机序列??k?,当A??时,有

max?1?k?nx?AxdFk(x)?0,

则在??k?上可应用大数定律.

26.设??k?相互独立、同分布,其数学期望为?(?k??),具有有限方差.如果sn?明:对序列?sn?,大数定律不成立.但如果nan?0,则?ansn?满足大数定律. 27.设??k?为随机序列. sn?则大数定律不能应用于??k?.

35.证明:若??k?服从中心极限定理,则??k??k?(?k为常数)也服从中心极限定理. 36.a)证明:对独立随机序列??k?,如果limBn??且limD?n/Bn?0,则中心极限定理成

n????k?1nk,试证

??k?1nk,若sn?Cn,且D(sn)??n2(C,?均为大于零的常数),

n??立的充分必要条件是麟德贝格条件成立.

b)第21题b)的??k?是否服从中心极限定理?

1?1?1137.设??k?相互独立,并且P(?k??k)?k3,P(?k??1)?(1?k3).问??k?是否满足中

22心极限定理?

38.设??k?为相互独立的随机序列,?k在[?k,k]上服从均匀分布.问对??k?能否应用中心极限定理?

39.设??k?为相互独立的随机序列,而且??k?一致有界.即存在常数L,使对一切,中心极限定理成立. k,P(?k?L)?1.则当B??D(?k)趋于?时(当n??)

2nk?1n 40.若独立随机序列??k?:

?k取值 ?k概率 ak pk 0 ?ak pk 1?2pk 问ak为何值时,大数定律及中心限定理成立?

41.对下列独立随机序列,李亚普诺夫定理是否成立? i) ?k取值 ?k k ii

?k概率 1 21 2) ? k a 0 k a , a ? 0. ? 取值k?k概率 1 31 31 3 43.设在第k次试验中,事件A的出现概率等于pk,而Sn是事件A在n次独立试验中的出现次数. 求证:在

?pqkk?1k??时(qk?1?pk),也只在这样的时候有,

n???Sn???k?1??k?1P???n2???pq?kk???k?1??x??e?z22dz.

习题6

1.设总体?服从正态N(12,2),今抽取容量为5的子样?1,?,?5,试问: (1)子样的平均值?大于13的概率是多少? (2)子样的极小值小于10的概率是多少? (3)子样的极大值大于15的概率是多少?

3.设电子元件的寿命(时数)?服从以??0.0015为参数的指数分布,即有密度函数 f(x)?0.0015e?0.0015x,x?0.今测试6个元件,并记录下它们各自失效的时间(单位:小时).试问:

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