eji(1?ejnt)， jtn(1?e)则?以概率
1取值1,2,?,n. n4. 求下列各随机变数的概率分布。其特征函数分别为：
a)cost;
b)cos2t.
5. 设随机变数?的分布函数为F(x),F(x)边续且严格单调。求：
a)??aF(?)?b;
b)??lnF(?)的特征函数。
6. 设F(x)是随机变数?的分布函数。?(t)为?的特征函数。令
1x?hF(y)dy, ?x?h2hsinht?(t). 其中h?0为常数，则G(x)的相应的特征函数为htG(x)?8. 证明：特征函数?(t)是实值的充要条件是其相应的分布函数F(x)是对称的（即F(x)满足：
F(x)?1?F(?x?0)).
9. 求证：对任何实特征函数?(t)，以下二不等式成立：
1??(2t)?4(1??(t)),1??(2t)?2[?(t)].2
10. 试证：满足下列各等式的连续函数?(t)是特征函数： i) ?(t)??(?t); ii) ?(t?2a)??(t); iii) ?(t)?a?t (0?t?a), a其中a是正常数。
11. 证明：若?1,?2,?,?n相互独立。都服从正态N(0,1)分布，则分布。
1??nk?1nk也服从正态N(0,1)习题5
1. 设?(x)?e?2???1x?y22dy.试证明对每一x?0,有
?x1212?e1?21?11???1??(x)?e?. ?3?x2??xx?x23. 试证明：如果?(x)是正的单调递增函数。而E[?(?)]?m存在。则
P(??t)?m/?(t).
25. 设?n?a,?n?b(a,b为常数且b?0)，证明：1）?n???a2; 2）
PPP?nPa???. ?bn6. 若?n????,是否有E(?n)?E(?)？
P7. 设f(x)在(0,?)上连续、单调上升。f(0)?0且supf(x)??。证明：?n???0等价于
x?0PlimE[f(?n)]?0。
n??8.设??k?(k?1,2,?)为随机序列，且
W?k???c，
其中c为常数，则
P?k???c.
WP9.设??k?(k?1,2,?)及??k?(k?1,2,?)是两个随机序列，且?k?? ??，?k???0.证明：
W?k??k????.
10.将n个带有号码1至n的球投入n个编有号码1至n的匣子.并限制每一个匣子只能放进一个球，设球与匣子的号码一致的个数是sn.试证：
sn?E(sn)P???0. n12.设g(x)是???x???上的连续函数，且?n????,则g(?n)???g(?).
PP?n?13.（马尔可夫大数定律）设随机序列??k?对任一正整数n均有D???k???，而且
?k?1?1?n?lim2D???k??0 n??n?k?1?则??k?服从大数定律，亦即，对任意??0，有
?1n?limP????k?E(?k)?????0. n???nk?1?15.证明：若??k?，??k?都服从大数定律，则??k??k?也服从大数定律.
16.设?n服从参数为n,pn的二项分布，若当n??时npn??，用特征函数法证明??n?的极限分布是参数为?的泊松分布.
17.用特征函数证明辛钦大数定律.
18.设随机序列??k?相互独立且满足
1??k, 概率为,??2?k??(jk?1,2,?)
??k?, 概率为1,??2证明：当??1时??k?服从大数定律. 2 19.已知独立随机序列??k?具有同一分布函数：
F(x)?11x?arctg 2?a1发生，是否可以用大于0.975的概率确信：在1000次试验2试验证：辛钦大数定律对此序列是否适用. 20.在每次试验中，事件A以概率
中，事件A出现的次数在400与600范围内？
21.试确定：由以下给定分布的相互独立的随机序列??k?是否满足使用大数定律的充分条件？
1
a) P(?k??2k)?;
2
b) P(?k??2k)?2?(2k?1), P(?k?0)?1?2?2k1?1
c) P(?k??k)?k2
2 P(?k?0)?1?k.
22. 随机序列
?12
??k?具有相同的期望与方差。如果所有的协方差
bij?E(?i?E(?i))(?j?E(?j))?0(i?j)，问大数定律对此序列是否适用？
23. 设有这样一个随机序列??k?，其?k仅与?k?1相关，而与其它所有的?j不相关。若D(?k)一致有限，证明大数定律对此??k?成立。
24. 已知随机序列九牛二虎之力方差皆为有限，D(?k)?C(C为常数)。并且当）证明：大数定律对此序列适用。 i?j??时,?ij?0. （?ij为?i与?j的相关系数。
25. 证明：如果对于独立随机序列??k?，当A??时，有
max?1?k?nx?AxdFk(x)?0,
则在??k?上可应用大数定律.
26.设??k?相互独立、同分布，其数学期望为?(?k??)，具有有限方差.如果sn?明：对序列?sn?，大数定律不成立.但如果nan?0，则?ansn?满足大数定律. 27.设??k?为随机序列. sn?则大数定律不能应用于??k?.
35.证明：若??k?服从中心极限定理，则??k??k?（?k为常数）也服从中心极限定理. 36.a）证明：对独立随机序列??k?，如果limBn??且limD?n/Bn?0，则中心极限定理成
n????k?1nk，试证
??k?1nk，若sn?Cn，且D(sn)??n2(C,?均为大于零的常数），
n??立的充分必要条件是麟德贝格条件成立.
b）第21题b)的??k?是否服从中心极限定理？
1?1?1137.设??k?相互独立，并且P(?k??k)?k3,P(?k??1)?(1?k3).问??k?是否满足中
22心极限定理？
38.设??k?为相互独立的随机序列，?k在[?k,k]上服从均匀分布.问对??k?能否应用中心极限定理？
39.设??k?为相互独立的随机序列，而且??k?一致有界.即存在常数L，使对一切，中心极限定理成立. k,P(?k?L)?1.则当B??D(?k)趋于?时（当n??）
2nk?1n 40.若独立随机序列??k?：
?k取值 ?k概率 ak pk 0 ?ak pk 1?2pk 问ak为何值时，大数定律及中心限定理成立？
41.对下列独立随机序列，李亚普诺夫定理是否成立？ i) ?k取值 ?k k ii
?k概率 1 21 2） ? k a 0 k a , a ? 0. ? 取值k?k概率 1 31 31 3 43.设在第k次试验中，事件A的出现概率等于pk，而Sn是事件A在n次独立试验中的出现次数. 求证：在
?pqkk?1k??时(qk?1?pk)，也只在这样的时候有，
n???Sn???k?1??k?1P???n2???pq?kk???k?1??x??e?z22dz.
习题6
1.设总体?服从正态N(12,2)，今抽取容量为5的子样?1,?,?5，试问： （1）子样的平均值?大于13的概率是多少？ （2）子样的极小值小于10的概率是多少？ （3）子样的极大值大于15的概率是多少？
3.设电子元件的寿命（时数）?服从以??0.0015为参数的指数分布，即有密度函数 f(x)?0.0015e?0.0015x,x?0.今测试6个元件，并记录下它们各自失效的时间（单位：小时）.试问：