（1）至800小时时没有一个元件失效的概率是多少？ （2）至3000小时时所有元件都失效的概率是多少？
5.设?1,?,?n为总体?~N(?,?)的子样，E(?)??,D(?)??2，定义
1nd???i?a，
ni?12?2??试证E(d)??,D(d)??1??.
????n2 6.设总体?服从正态N(20,3)，今从中抽取容量为10及15的两个独立子样，试问这两个子样的平均值之差的绝对值大于0.3的概率是多少？
7.总体?服从正态N(a,?),?1,?2为其子样，试求子样极差的分布，极大值与极小值的分布.
2 9.设总体?服从正态N(a,?1)，总体?服从正态N(a2,?2),?及?、S12及S2分别为其子样的平
均值与方差，这两个子样的相关系数为：
1n(?i??)(?i??)?SnR?i?1?12，
S1?S2S1?S2试证当(?1,?1),?,(?n,?n)为正态总体(?,?)的子样时，则有
n?1(???)?(a1?a2)S?S?2RS1S22122~t(n?1).
10.设总体?的E(?)?a1,D(?)??2，总体?的E(?)?a2,D(?)??2.n1及n2、?及?、S12及
2分别为其子样的容量大小、平均值与方差.试证：当?及?服从正态分布且两个子样相互独立，S2则有
(???)?(a1?a2)S/n2?S/n2122n1??1n2??~N(0,1).
12.设?1,?,?n是n个相互独立的且都是服从正态N(0,1)的随机变数，?1,?,?n到?1,?,?n的变换为正交变换.试证?1,?,?n是n个相互独立的且都是服从正态N(0,1)的随机变数.
2 13.设总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n为其子样，?及Sn分别为子样的平均值及方差.又设
?n?1服从正态N(a,?)，且与?1,?,?n相互独立.试求统计量
??的抽样分布. 14.设
?n?1??Snn?1 n?1?1,?,?n相互独立且分别服从正态N(ai,?i)，试证???ci?i服从正态
i?1n?nN??ciai,?i?1??22c?. ?ii??i?1?n 15.设?1,?,?n相互独立且分别服从正态N(ai,?i)，i?1,?,n，即数学期望相同而方差不同.试证???i?i?1?in??i?a??an?11与??????????ni?1i?1i?1i??i?inn????相互独立，而且?服从正态分布，??2?~?2(n?1).
16.设总体?在?????11?*为顺序统计量，,???上服从均匀分布，?1,?,?n为其子样，?1*,?,?n22?**试求?1*,?n及（?1*,?n）的分布.
习题7
4.设总体?的密度函数为f(x;?), （1）f(x;?)??1,?,?n为其子样，求参数?的极大似然估计量.
1?x??e,x??,??????,???x??； 2??x??1,0?x?1 0????, （2）f(x;?)??
?0, 其它;?1?,0?x?? 0????, （3）f(x;?)???
??0, 其它;x?1???e,0?x?? 0????, （4）f(x;?)???
?0, 其它;? 5.设总体?服从二项分布b(N,p),0?p?1,N为正整数，?1,?,?n为其子样，求N及p的矩
法估计量.
6.设总体?服从对数正态分布，密度函数为
f(x;a,?)?1?1?exp??2(lgx?a)2?, 2???2???1,?,?n为其子样，求a及?的矩法估计量.
7.设总体?的密度函数为
f(x)?(??1)x?,0?x?1,???1.
?1,?,?n为其子样，求参数?的极大似然估计及矩法估计.今得子样观察值为0.3、0.8、0.27、0.35、
0.62及0.55，求参数?的估计值.
8.设T为电子元件的失效时间（单位：小时），其密度函数为
f(t)??e??(t?t0),t?t0?0
（即随机变数T具有在左边t0截头的，参数为?的指数分布）.假定n个元件独立地试验并记录其失效时间分别为T1,?,Tn.
（1）当t0为已知时，求?的极大似然法估计量. （2）当?为已知时，求t0的极大似然法估计量. 10.设总体?服从?-分布，密度函数为：
f(x;?)???(a?1)?(a?1)xae?,x?0.
?x?1,?,?n为其子样.若a为已知，求参数?的极大似然估计计量.
11.设总体?的密度函数为：
f(x;?1,?2)?1?2e?x??0?2
????1?x??,0??2??,?1,?,?n为其子样，求参数?1及?2的极大似然法估计量.
12.设总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n为其子样.
1n（1）求k，使????i??为?的无偏估计量.
ki?11n?122
（2）求k，使?????i?1??i?为?的无偏估计量.
ki?113.设总体?的数学期望为a，方差为?2,?1,?,?n是它的子样，T??1,?,?n?为a的任一线性无偏估计量，证明子样平均?与T的相关系数为D(?)D(T). 1?n14.设总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n为其子样，a为已知，证明?i?a为?的无?n2i?1偏估计量，且有效率为
1. ??215.设总体服从正态N(a,1)，???a??,?1,?2,?3为其子样，试证下述三个估计量
131?1??2??3； 5102115?2??1??2??3； （2）a3412111?3??1??2??3. （3）a362都是a的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？ ?1?（1）a?1及a?2分别为参数a的两个无偏估计量，它们的方差分别为16.设总体?的数学期望为a，a2?1?c2a?2有最小方差. ，相关系数为?，试确定常数c1?0,c2?0,c1?c2?1，使得c1a?12及?217.设总体?服从正态N(a,1)，总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n2?1,?,?n1为总体?的子样，为总体?的子样，且这两个子样相互独立.
?. （1）试求a?a1?a2的无偏估计量a?的方差达到最小. （2）如果n1?n2?n固定，问n1及n2如何配置，可使a18.设总体?及?的数学期望及方差分别为a1,a2及?1,?2,?1,?,?n及?1,?,?n分别为它们的
221n1n子样，这两个子样相互独立，????i,????i，试证???为a1?a2的最优线性无偏估计
ni?1ni?1量.
19.设总体?的密度函数为：
11?1, ???x????f(x;?)??22
??0, 其它,??????,?1,?,?n为其子样.
（1）求参数?的极大似然估计量. （2）证明子样平均?及1?max?i?min?i?都是?的无偏估计量，问哪个较有效？ 21?i?n 1?i?n20.设总体?的密度函数为
?1?, 0 1?i?3431?i?3?及??的参数?的两个独立的无偏估计量，且??的方差为??的方差的两倍，试确定常数 21.设?1212??c???c1及c2，使得c1?122为参数的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差最小. 23.设T1及T2分别是常数?的可估计函数g1(?)及g2(?)的最优无偏估计量，试证 bT11?b2T2是b1g1(?)?b2g2(?)的最优无偏估计量，其中b1和b2是常数. 25.设总体?服从正态N(a1,?1)，总体?服从正态N(a2,?2)，?1,?,?n1，?1,?,?n2分别为其子样，并且这两个子样相互独立. （1）试建立?122的置信水平为1??的区间估计； ?2 （2）假定?1??2，试建立a1?a2的置信水平为1??的区间估计. 26.设总体?服从正态N(a1,?)，总体?服从正态N(a2,?)，其中?未知，?1,?,?n及?1,?,?n分别为其子样，并且这两个子样相互独立，求a1?a2的置信水平为0.95的区间估计. 27.设总体?服从正态N(a,?)，已知 ?xi?115i?8.7,?xi2?25.05，试分别求置信水平为0.95的 i?115a及?2的区间估计.