在Rt△AEO中，tan∠AOE＝∴AE＝4，
∵四边形EOGF是正方形， ∴∠EMO＝90°， ∵∠EAO＝∠EMO＝90°， ∴E、A、O、M四点共圆， ∴∠EAM＝∠EOM＝45°，
＝，OA＝8，
∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA， ∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形， ∵EM＝OM， ∴△MKE≌△MHO， ∴EK＝OH，
∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12， ∴AH＝6， ∴AM＝
（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．
AH＝6
．
∵A（﹣8，0），E（﹣a，a）， ∴直线AP的解析式为y＝
x+
，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，
由，解得，
∴P（①当PO＝则有：
，）．
2
2
OE时，∴PO＝2OE，
+
＝4a，
2
解得a＝4或﹣4（舍弃）或0（舍弃）， 此时P（0，8）． ②当PO＝
PE时，则有：
+
＝2[（
+a）+（
2
﹣a）]，
2
解得：a＝4或12，
此时P（0，8）或（﹣24，48）， ③当PE＝
EO时，[（
+a）+（
2
﹣a）]＝4a，
22
解得a＝8或0（舍弃）， ∴P（﹣8，24）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．
28．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（
，a）．依据两点的距离公式可
求得AD、AP、DP的长，然后分为AD＝PA、AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可． 【解答】解：（1）∵C（0，3）． ∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣． 令y＝0得：ax﹣2 ∵a≠0， ∴x﹣2
2
2
ax﹣9a＝0，
x﹣9＝0，解得：x＝﹣
，0），B（3
．
或x＝3，0）．
．
∴点A的坐标为（﹣
∴抛物线的对称轴为x＝（2）∵OA＝∴tan∠CAO＝
，OC＝3， ，
∴∠CAO＝60°． ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAO＝30°． ∴DO＝
AO＝1．
∴点D的坐标为（0，1） 设点P的坐标为（
，a）．
2
2
2
2
2
依据两点间的距离公式可知：AD＝4，AP＝12+a，DP＝3+（a﹣1）． 当AD＝PA时，4＝12+a，方程无解．
当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1），解得a＝0或a＝2（舍去）， ∴点P的坐标为（
2
2
2
，0）．
2
当AP＝DP时，12+a＝3+（a﹣1），解得a＝﹣4． ∴点P的坐标为（
，﹣4）．
，0）或（
，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（
（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3＝0，解得：m＝，
∴直线AC的解析式为y＝
x+3．
设直线MN的解析式为y＝kx+1．
把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣， ∴点N的坐标为（﹣，0）． ∴AN＝﹣+＝
．
将y＝
x+3与y＝kx+1联立解得：x＝
．
∴点M的横坐标为
．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝+．
∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°， ∴AM＝2AG＝+2＝
．
∴+
＝
+
＝
+
＝
＝
＝
．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ） A．3
B．﹣3
C．±3
D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ） A．2a+3b＝5ab B．＝±6
C．a2
b÷2ab＝a2
D．（2ab2
）3
＝8a3b6
3．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（ ） A．平均数
B．众数
C．中位数
D．方差
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则
＝（ ）
A．
B．2
C．
3
D．
2
7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y+y﹣6＝0．则﹣y的值为（ ） A．0
B．
C．1
D．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＞2 C．﹣1＜x＜4
B．0＜x＜4
D．x＜﹣1 或 x＞4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为 ． 10．（3分）若
有意义，则x的取值范围是 ．
2
11．（3分）分解因式：mx﹣4m＝ ．
12．（3分）若方程x+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为 cm．
14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是 ．
2
2
15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为 ．
16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ．
17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝ ．
2
18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是 ．