习题7?2 1? 设a?3i?j?2k? b?i?2j?k? 求(1)a?b及a?b? (2)(?2a)?3b及a?2b? (3)a、b夹角的余弦? 解 (1)a?b?3?1?(?1)?2?(?2)?(?1)?3? ijk a?b?3?1?2 ?5i?j?7k? 12?1 (2)(?2a)?3b ??6a?b ? ?6?3??18? a?2b?2(a?b)?2(5i?j?7k)?10i?2j?14k ? (3)cos(a, b)?^|a?b|?3?3? |a||b|146221 2? 设a、b、c为单位向量? 且满足a?b?c?0? 求a?b?b?c?c?a ? 解 因为a?b?c?0? 所以(a?b?c)?(a?b?c)?0? 即 a?a?b?b?c?c?2a?b?2a?c?2c?a?0? 于是 a?b?b?c?c?a??1(a?a?b?b?c?c)??1(1?1?1)??3? 222 3? 已知M1(1? ?1? 2)、M2(3? 3? 1)和M3(3? 1? 3)? 求与M1M2、M2M3同时垂直的单位向量? ,, ?1)? M2M3?(3?3, 1?3, 3?1)?(0, ?2, 2)? 解 M1M2?(3?1, 3?1, 1?2)?(2 4ijk n?M1M2?M2M3?24?1 ?6i?4j?4k? 0?22 ?????? |n|?36?16?16?217? e??1(6i?4j?4k)??1(3i?2j?2k)为所求向量? 21717 4? 设质量为100kg的物体从点M1(3? 1? 8)沿直线称动到点M2(1? 4? 2)? 计算重力所作的功(长度单位为m? 重力方向为z轴负方向)? 解F?(0? 0? ?100?9? 8)?(0? 0? ?980)? S?M1M2?(1?3, 4?1, 2?8)?(?2, 3, ?6)? W?F?S?(0? 0? ?980)?(?2? 3? ?6)?5880(焦耳)?
5? 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处? 有一与OP1成角?1的力F1作用着? 在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处? 有一与OP2成角?1的力F1作用着? 问
????1、?2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零? 再注意到对力矩正负的
规定可得? 使杠杆保持平衡的条件为 x1|F1|?sin?1?x2|F2|?sin?2?0? 即 x1|F1|?sin?1?x2|F2|?sin?2? 6? 求向量a?(4? ?3? 4)在向量b?(2? 2? 1)上的投影? 解 1Prjba?a?eb?a?b?1a?b?(4, ?3, 4)?(2, 2, 1)?1(4?2?3?2?4?1)?2? |b||b|322?22?12 7? 设a?(3? 5? ?2)? b?(2? 1? 4)? 问?与?有怎样的关系? 能使得?a??b与z轴垂直? 解 ?a??b?(3??2?? 5???? ?2??4?)? ?a??b与z轴垂??a??b ?k ?(3??2?? 5???? ?2??4?)?(0? 0? 1)?0? 即?2??4??0? 所以??2?? 当??2?时? ?a??b与z轴垂直? 8? 试用向量证明直径所对的圆周角是直角? 证明 设AB是圆O的直径? C点在圆周上? 则OB??OA? |OC|?|OA|? 因为AC?BC?(OC?OA)?(OC?OB)?(OC?OA)?(OC?OA)?|OC|?|OA|2?0? 所以AC?BC? ∠C?90?? 9? 设已知向量a?2i?3j?k? b?i?j?3k和c?i?2j? 计算? (1)(a?b)c?(a?c)b? (2)(a?b)?(b?c)? (3)(a?b)?c ? 解 (1)a?b?2?1?(?3)?(?1)?1?3?8? a?c?2?1?(?3)?(?2)?8? (a?b)c?(a?c)b?8c?8b?8(c?b)?8[(i?2j)?(i?j?3k)]??8j?24k ? (2)a?b?3i?4j?4k? b?c?2i?3j?3k? ijk (a?b)?(b?c)?3?44??j?k? 2?33ijk (3)a?b?2?31??8i?5j?k? 1?13?????????????????2? (a?b)?c??8?1?(?5)?(?2)?1?0?2?
10? 已知OA?i?3j? OB?j?3k? 求?OAB的面积?
解 根据向量积的几何意义? |OA?OB|表示以OA和OB为邻边的平行四边形的面积? 于是?OAB的面积为
??????
??1 S?|OA?OB|? 2ijk?? 因为OA?OB?103??3i?3j?k? |OA?OB|?(?3)3?(?3)2?12?19? 013??所以三角形?OAB的面积为 11 S?|OA?OB|?19? 22 12? 试用向量证明不等式? ?? 222222a1?a2?a3b1?b2?b3?|a1b1?a2b2?a3b3|? 其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数? 并指出等号成立的条件?
解 设a?(a1? a2? a3)? b?(b1? b2? b3)? 则有
^ a?b?|a|?|b|cos(a, b)?|a|?|b|?
于是 222222a1?a2?a3b1?b2?b3?|a1b1?a2b2?a3b3|? ^其中当cos(a, b)?1时? 即a与b平行是等号成立?