圆锥曲线题型总结.

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识: 1、中点坐标公式:x?x1?x2y?y,y?12,其中x,y是点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标。 222、弦长公式:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上,

则y1?kx1?b,y2?kx2?b,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,

AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2 ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或者AB?111(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2 kkk?(1?12)[(y?y)?4y1y2]。 122k3、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直:则k1k2??1 两条直线垂直,则直线所在的向量v1?v2?0

4、韦达定理:若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2,则x1?x2??2 bc,x1x2?。 aa常见的一些题型:

题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二:弦的垂直平分线问题 题型三:动弦过定点的问题

题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 题型五:共线向量问题 题型六:面积问题

题型七:弦或弦长为定值问题 题型八:角度问题 问题九:四点共线问题

问题十:范围问题(本质是函数问题) 问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)

题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

x2y2??1始终有交点,求m的取值范围 例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:4mx2y2(0,?m),且m?4,如??1过动点解:根据直线l:y?kx?1的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆C:4mx2y2??1始终有交点,则m?1,且m?4,即1?m且m?4。 果直线l:y?kx?1和椭圆C:4m规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:

l:y?kx?1?过定点(0,1) l:y?k(x?1)?过定点(?1,0) l:y?2?k(x?1)?过定点(?1,2)

题型二:弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N :y?x交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得?ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。

设直线l:y?k(x?1),k?0,A(x1,y1),B(x2,y2)。 由?2?y?k(x?1)2222消y整理,得kx?(2k?1)x?k?0 ① 2?y?x2242由直线和抛物线交于两点,得??(2k?1)?4k??4k?1?0 即0?k?21 ② 42k2?12k2?11,x1x2?1。则线段AB的中点为(?,)。 由韦达定理,得:x1?x2??22k2k2k线段的垂直平分线方程为:

111?2k21111y???(x?)令y=0,得,则x??E(?,0) 02kk2k22k222k22?ABE为正三角形,?E(311AB。 到直线AB的距离d为?,0)222k221?4k2AB?(x1?x2)?(y1?y2)?k221?k21?kd?

2k231?4k2?2k2391?k251?k?解得k??满足②式此时x0?。

132k32题型三:动弦过定点的问题

x2y23例题3、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,且在x轴

2ab上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

(I)求椭圆的方程;

(II)若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论

c3x2?y2?1 解:(I)由已知椭圆C的离心率e??,a?2,则得c?3,b?1。从而椭圆的方程为

a24?y?k1(x?2)(II)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2),由?2消y2x?4y?4?k整理得(1?421x)?1k6x?221k6?2116k12?42?8k12?4?02和x1是方程的两个根,??2x1?则x1?,221?4k11?4k14k12?8k124k1y1?,即点M的坐标为(,),

1?4k121?4k121?4k1228k2?2?4k2同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)?k1?k2y?y1y2?y12??,直线MN的方程为:?,

k1?k2tx?x1x2?x1?令y=0,得x?x2y1?x1y24,将点M、N的坐标代入,化简后得:x?

y1?y2t又

t?2,?0?4?2t椭圆的焦点为(3,0)?434 ?3,即t?3t故当t?43时,MN过椭圆的焦点。 3题型四:过已知曲线上定点的弦的问题

x2y2例题4、已知点A、B、C是椭圆E:2?2?1 (a?b?0)上的三点,其中点A(23,0)是椭圆的右顶点,直线BC

ab过椭圆的中心O,且ACBC?0,BC?2AC,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线x?3对称,求直线PQ的斜率。

解:(I)

BC?2AC,且BC过椭圆的中心O

ACBC?0??ACO??OC?AC为(3,3)。

?2又

A (23,0)?点C的坐标

x2y2A(23,0)是椭圆的右顶点,?a?23,则椭圆方程为:?2?1

12b222将点C(3,3)代入方程,得b?4,?椭圆E的方程为x?y?1

124(II)

直线PC与直线QC关于直线x?3对称,

?设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为?k,从而直线PC的方程为:

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