成长快乐教育学科教师辅导教案
学员姓名： 年 级： 高三 课 时 数： 班 主 任： 辅导科目： 数学 学科教师： BeMaris 授课主题 教学目标 函数（二）复合函数的表达式 1、熟练复合函数的两种表达式之间的相互转换 教学内容 复合函数的表达式 上节课中我们学习了函数的定义，在附录中回顾了基本初等函数，这些基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方、取绝对值、取模、取余等）后所构成的函数类型是我们最常见的.更为复杂一点的是函数的复合运算，我们今天的主题就是复合函数的表达式. 还记得上节课中的图1.1吗？我们用这个工具来描述函数复合运算过程中的变量关系. 图2.1 复合函数的表达式 从图2.1中可以看出，由x得到y，有两种方法： 1、先将x由u?u?x?转换成u，再将u由y?f?u?转换成y，在这个过程中，你会发现为什么变量u会被称为中间变量. 2、直接将x由y?f?u?x ??转换成y. 1
上面两种方法是等效的，即y?f?u?x??与??y?f?u?是等效的，这就是复合函数的两种表达形式，后面讨??u?ux?论的复合函数的定义域、值域、单调性、复合函数的求导等都以它为基础，不过在这之前，我们最好熟练掌握?y?f?u?这两种表达形式的互换. y?f?u?x??与??u?u?x? ?y?f?u?问题1：将下列复合函数由y?f?u?x??的表达形式改写成?的表达形式. ??u?ux? （1）y?9?3?6 （2）y?sinsinxxx?1?? （3）y?lg?1??? ?x??y?f?u?解析：将y?f?u?x??改写成?时，这个过程相当于剥洋葱，由外及里，先找出y?f?u?，再得出??u?ux?u?u?x?，在这里，你要相当熟悉基本初等函数的表达式. ?y?lgu2??y?sinu?y?sinu??y?u?u?6答案：（1）?； （2）?或?； （3）?1 . xu?sinxu?1????u?sinx??u?3x?注意你得到的答案可能不唯一，如果有后续分析的话，你需要选择一个简洁、简单点的表达形式. 问题2：已知f?1?x??x?x?1，求f?x?的表达式. 2解析：利用图2.1解决这道题 求f?x?的表达式，实际上是求y?f?u?的表达式，只不过是在求出y?f?u?的表达式后，将这个函数关2
系中自变量的符号改写成x而已，最终f?x?的表达式与f?1?x??x2?x?1的“x”同名但不同意义. ?y?x2?x?1 ?u?1?x?消去x后得y??1?u2?2??1?u??1 ?u?3u?3 所以f?u??u?3u?3 2将“u”换成“x”得到： f?x??x2?3x?3 在复合函数两种表达形式互换问题中，还经常出现一种“自我嵌套”的现象，尤其是分段函数的自我嵌套.我先用图2.1这个工具来解释一下何为“自我嵌套”. 图2.2 自我嵌套 在图2.2中，两个函数y?f?u?与u?f?x?，我们只能知道这两个函数的对应法则是相同的，而它们的定义域是否相同、值域是否相同是没有要求的.这就是复合函数中的自我嵌套的特征. 顺便，我们来复习一下函数相等的知识，比如判定y?f?x?与y?g?x?相等，那么一定满足： （1）自变量相同 符号可以不一样，但指代内容一定要求相同，即所谓的同物不同名.自变量的取值范围即定义域D相同. 3