1.2 映射的有关概念
习题1.2
1. 分别计算?1.5?，??1?，??1.5?，?1.5?，??1?，??1.5?.
解 ?1.5??2，??1???1，??1.5???1，?1.5??1，??1???1，??1.5???2. 2.下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1)f:Z?Z,f(x)?3x. (2)f:Z?N,f(x)?|x|?1. (3)f:R?R,f(x)?x3?1.
(4)f:N?N?N,f(x1,x2)?x1?x2?1. (5)f:N?N?N,f(x)?(x,x?1).
解 (1)对于任意对x1,x2?Z，若f(x1)?f(x2)，则3x1?3x2，于是x1?x2，所以f是单射. 由于对任意x?Z，f(x)?2?Z，因此f不是满射，进而f不是双射.
(2)由于2,?2?Z且f(2)?f(?2)?3，因此f不是单射. 又由于0?N，而任意x?Z均有f(x)?|x|?1?0，于是f不是满射. 显然，f不是双射.
(3)对于任意对x1,x2?R，若f(x1)?f(x2)，则x1?1?x2?1，于是x1?x2，所以f是单射. 对于任意y?R，取x?(y?1)，这时
1??3f(x)?x?1??(y?1)3??1?(y?1)?1?y，
??33313所以f是满射. 进而f是双射.
(4)由于(1,2),(2,1)?N?N且(1,2)?(2,1)，而f(1,2)?f(2,1)?4，因此f不是单射. 又由于0?N，而任意(x1,x2)?N?N均有f(x1,x2)?x1?x2?1?0，于是f不是满射. 显然，f就不是双射.
(5)由于x1,x2?N，若f(x1)?f(x2)，则(x1,x1?1)?(x2,x2?1)，于是
x1?x2，因此f是单射. 又由于(0,0)?N?N，而任意x?N均有
f(x)?(x,x?1)?(0,0)，于是f不是满射. 因为f不是满射，所以f不是双射.
3.对于有限集合A和B，假定f:A?B且|A|?|B|，证明: f是单射的充要条件是f是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.
证(?)因为f是单射，所以|A|?|f(A)|. 由于|A|?|B|，所以|f(A)|?|B|. 又因为B有限且f(A)?B，故f(A)?B，即f是满射.
(?)若f是满射，则f(A)?B. 由于|A|?|B|，于是|A|?|f(A)|. 又因为A和B是有限集合，因此f是单射.
对于无限集合，上述结论不成立. 例如f:N?N，f(x)?2x，f是单射，但f不是满射.
4.设f:A?B,试证明: (1)f?IB?f. (2)IA?f?f.
特别地，若f:A?A，则f?IA?IA?f?f.
证 (1)对于任意x?A，由于f(x)?B，所以(f?IB)(x)?IB(f(x))?f(x)，因此f?IB?f.
(2)对于任意x?A，由于IA(x)?x，所以(IA?f)(x)?f(IA(x))?f(x)，于是有IA?f?f.
由(1)和(2)知，若f:A?A，则f?IA?IA?f?f.
5.试举出一个例子说明f?f?f成立，其中f:A?A且f?IA. 若f的逆映射存在，满足条件的f还存在吗?
解 令A?{a,b,c}，f(a)?f(b)?f(c)?a，即对于任意x?A，f(x)?a，显
然
f:A?A且
f?IA. 而对于任意
x?A，有
(f?f)(x)?f(f(x))?f(a)?a，因此f?f?f.
若f?f?f且f的逆映射f?1存在，由第3题知f?f?f?f?IA，所以
?1?1于是利用定理7有(f?f)?f?(f?f)?IA，f?1?(f?f)?f?1?(f?IA)，
进而IA?f?IA?IA，因此f?IA. 所以若f的逆映射存在，满足条件的f不存在.
6.设f:A?B,g:B?C. 若f和g是满射，则f?g是满射，试证明. 证 因为f是满射，所以f(A)?B. 又因为g是满射，所以g(B)?C. 于是
(f?g)(A)?g(f(A))?g(B)?C，因此f?g是A到C的满射.
另证 对于任意z?C，因为g是满射，于是存在y?B使得g(y)?z. 又因为f是满射，存在x?A使得f(x)?y. 因此，(f?g)(x)?g(f(x))?g(y)?z，所以f?g是A到C的满射.
7.设f:A?B,g:B?C. 试证明: 若f?g是单射，则f是单射. 试举例说明，这时g不一定是单射.
证 对于任意x1,x2?A，假定f(x1)?f(x2)，则显然g(f(x1))?g(f(x2))，即(f?g)(x1)?(f?g)(x2). 因为f?g是单射，所以x1?x2，于是f是单射.
例如A?{a,b}，B?{1,2,3}，C?{?,?,?,?}，令f(a)?1,f(b)?2，
g(1)??,g(2)??,g(3)??，则显然有(f?g)(a)?g(f(a))?g(1)??, (f?g)(b)?g(f(b))?g(2)??, 于是f?g是A到C的单射，但g显然不是单
射.
8.设f:A?B,若存在g:B?A，使得f?g?IA且g?f?IB，试证明: f是双射且f?1?g.
证 因为f?g?IA，而IA是单射，所以f是单射. 又因为g?f?IB，而IB是满射，所以f是满射. 因此f是双射.
由于f是双射，所以f而(f?1?1存在. 因为f?g?IA，于是f?1?(f?g)?f?1?IA.
?f)?g?f?1?IA且IB?g?f?1，所以有f?1?g.
9.设f:A?B,g:B?C.若f和g是双射，则f?g是双射且
(f?g)?1?g?1?f?1.
?1?1证 根据定理4(1)(2)知，f?g是双射. 下证(f?g)?g?f?1. 因为