2017-2018学年沪科版七年级数学上册教案:3.4二元一次方程组的应用教案

3.4 二元一次方程组的应用

第1课时 简单实际问题和行程问题

1.能够根据具体的数量关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题. 2.学会利用二元一次方程组解决行程问题.

重点

理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤. 难点

会灵活运用列方程组解决实际问题.

一、复习旧知,导入新知

我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤,那么列方程分为哪几个基本步骤?学生积极回答:

(1)审题设未知数; (2)找相等关系; (3)列方程; (4)解方程;

(5)检验,写出答案.

这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题(板书课题). 二、自主合作,感受新知

回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《·》“预习导学”部分. 三、师生互动,理解新知

探究点一:列方程组解决简单实际问题

问题1:某市举办中学生足球赛,规定胜一场得3分,平一场得1分.一球队共比赛11场,没输过一场,一共得27分.问该队胜几场,平几场?

分析题意(方法一):

(1)该队共进行比赛多少场,有没有输?(没有) (2)若假设胜了x场,则平多少场?(11-x) (3)胜一场得3分,胜x场得了多少分?(3x) (4)平一场得1分,平局共得多少分?(11-x) (5)该队共得27分.

(6)你找到等量关系了吗?(胜场得分+平局得分=总分) 通过以上分析列出方程.

解:设该队胜x场,则平了(11-x)场. 由题意可得

3x+(11-x)=27.

解得x=8.

11-x=11-8=3.

答:该队胜8场,平3场. 分析题意(方法二):

(1)若假设胜了x场,平局为y场,共进行11场比赛.你能找到它们三者之间的等量关系吗?(胜局场数+平局场数=总场数)

(2)胜一场得3分,胜x场共得了3x分,平一场得1分,平局y场共得y分,一共得27分,这3个得分间有什么等量关系呢?(胜场得分+平局得分=总分)

设两个未知数,就需要列二元一次方程组来解决,你能列出这个方程组吗? 解:设胜了x场,平局为y场,得方程组

?x+y=11,?x=8,???解得? ???3x+y=27.?y=3.

答:该队胜8场,平3场.

由例题可知,有些题目既可以引入一个未知数,建立一元一次方程,也可以引入两个未知数,建立二元一次方程组.讨论交流这两种方法各有什么特点?

探究点二:列方程组解决行程问题 行程问题:

(1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行.这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相路程路程

距的路程;路程=速度×时间;速度=;时间=. 时间速度

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行.这类问

题也比较直观,因而也可画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程.

(3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度; ②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度; ③顺水速度-逆水速度=2×水速.

注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.

问题2:一列火车长300米,某人和火车同向而行,则整列火车经过人身边需20秒.若相向而行,则整列火车经过人身边需15秒.求火车和人的速度.

解析:(1)同向时,火车所行路程比人要多出多少?(多出一个车身的长度) (2)相向时,火车与人共同行了多少?(一个车身的长度) 小组讨论:题目中的相等关系:

同向时:火车行的路程-人行的路程=车长 相向时:火车行的路程+人行的路程=车长

解:设火车行驶的速度为x米/秒,人行走的速度为y米/秒,根据题意,得

???20x-20y=300,?x=17.5,?解得? ??15x+15y=300,y=2.5.??

答:火车行驶的速度为17.5米/秒,人行走的速度为2.5米/秒. 问题3:甲、乙两地相距4 km,以各自的速度同时出发.如果同向而行,甲2 h追上乙;如果相向而行,两人0.5 h后相遇.试问两人的速度各是多少?

解析:对于行程问题,一般可以借助示意图表示题中的数量关系,可以更加直观地找到等量关系.

(1) 同时出发,同向而行

甲2 h行程=4 km+乙2 h行程

(2) 同时出发,相向而行

甲0.5 h行程+乙0.5 h行程=4 km

解:设甲、乙的速度分别为x km/h,y km/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系,得

2x-2y=4,????x=5,

解方程组,得? ?11

?y=3.x+y=4.???22

答:甲的速度为5 km/h,乙的速度为3 km/h.

四、应用迁移,运用新知

1.列方程组解决简单实际问题

例1 某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两种货物应各装多少吨?

???x+y=300,?x=150,?解:设甲种货物装x吨,乙种货物装y吨.由题意,得解得? ?6x+2y=1200,?y=150.??

答:甲、乙两种货物各装150吨.

方法总结:列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤,其关键在于审清题意,找等量关系;设未知数时,一般是求什么,设什么;并且所列方程的个数与未知数的个数相等.

2.列方程组解决行程问题——相遇问题

例2 某体育场的一条环形跑道长400 m.甲、乙两人从跑道上同一地点出发,分别以1

不变的速度练习长跑和骑自行车.如果背向而行,每隔 min他们相遇一次;如果同向而行,

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每隔 min乙就追上甲一次.问甲、乙每分钟各行多少米?

3

解析:题中的两个相等关系为:①乙骑车的路程+甲跑步的路程=400 m(背向);②乙骑车的路程-甲跑步的路程=400 m(同向).

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