第一部分 椭圆
1
1．（2013广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方
2程是( )
A.＋＝1 34C.＋＝1 42
x2y2x2y2
B.＋＝1 43D.＋＝1 43
x2y2
x2y2
解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，
x2y2
意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，
abc＝1，??c1所以?＝，
a2??c＝a－b，
2
2
2
解得a＝4，b＝3.
22
答案：D
x2y23222．（2012山东）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x－y＝1的渐近
ab2
线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1
82C.
＋＝1 164
x2y2x2
B.D.
＋＝1 126＋＝1 205
x2x2
y2y2
y2
解析：因为椭圆的离心率为
2
2
2
3c32323222122，所以e＝＝，c＝a，c＝a＝a－b，所以b＝2a2444
x2x2x2x25x2
a，即a＝4b.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得2＋2＝1，即2＋2＝2＝
ab4bb4b42242222
1，所以x＝b，x＝±b，y＝b，y＝± b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C5555的交点坐标为(
25
b，
25
b)，所以四边形的面积为4×
25
b×
2
1622
b＝b＝16，所以b＝5，
55
所以椭圆方程为＋＝1.
205
答案：D
x2y2
x2y2
3．（2013新课标全国Ⅰ）已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的
ab
直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.C.
＋＝1 B.＋＝1 45363627＋＝1 2718
x2x2
y2y2
x2x2
y2
D.
＋＝1 189
y2
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到a，b之间的关系，并由a，b，c之间的关系确定椭圆方程．因为直1xy线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程2＋2＝
2ab3292222?2?a2
1消去y，得?＋b?x－ax＋a－ab＝0，所以AB的中点的横坐标为2＝1，即a24?4?2??a2?＋b??4?＝2b，又a＝b＋c，所以b＝c＝3，选择D.
答案：D
4．（2011新课标全国）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2
在x轴上，离心率为方程为____．
2
.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的2
2
2
2
2
2
2
2
32a2
x2y22c2
解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，∵e＝，∴＝.ab2a2
根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，
所以椭圆方程为＋＝1.
168答案：＋＝1
168
x2y2
x2y2
x2y2
5．（2013新课标全国Ⅱ）设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Pab是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.
3
6
1B. 3D.3 3
1C. 2
解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．
法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝＝ca
2c|F1F2|3m3＝＝＝. 2a|PF1|＋|PF2|2m＋m3
b2
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以
ab2b222
|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·，变形可得3(a－c)
aa＝2ac，等式两边同除以a，得3(1－e)＝2e，解得e＝
答案：D
2
2
3
或e＝－3(舍去)． 3
x2y2
6．（2013四川，5分）从椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左
ab焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.2 42 2
1B. 2D.3 2
C.
解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思
b??想．由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P?－c，?.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，
a??bb2c222222
即－＝－，则b＝c，∴a＝b＋c＝2c，则＝，即该椭圆的离心率是.
aaca22
答案：C
2
x2y27．（2012新课标全国，5分）设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，Pab3a为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
2
1A. 23C. 4
2B. 34D. 5
33
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.
24答案：C
8．（2011浙江，4分）设F1，F2分别为椭圆＋y＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，3
x2
2
uuuruuuur若F1A＝5F2B，则点A的坐标是________．
解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右
uuuruuuur焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得F1A＝(m＋2，n)，F2B＝(c－2，d)．∵uuuruuuurm＋62nc2
∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋d＝1，F1A＝5F2B，
553
2
m＋62
5
3
2
＋()5
n2
＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．
答案：(0，±1)
x2y2
9．(2011辽宁，12分)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭
abuuuruuur圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB.
(1)求椭圆C的离心率；
15
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．
4
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0. (1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a－b.
2
2
??y＝3x－c，联立?x2y2
2＋2＝1??ab2
2
2
2
4
得(3a＋b)y＋23bcy－3b＝0.
－3bc＋2a－3bc－2a解得y1＝，y2＝. 2222
3a＋b3a＋b2
2
uuuruuur因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2.
3bc＋2a－3bc－2a即＝2·. 2222
3a＋b3a＋b2
2
c2得离心率e＝＝.
a3
(2)因为|AB|＝
1243ab151＋|y2－y1|，所以·22＝. 3433a＋b2
c25
由＝得b＝a. a33
515
所以a＝，得a＝3，b＝5.
44椭圆C的方程为＋＝1.
95
x2y2
x2y2
备选10．[2014·江西卷] 设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2
ab