山东省济宁市高考数学一轮复习 第二讲 椭圆习题讲练 理 新人教A版

第一部分 椭圆

1

1.(2013广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方

2程是( )

A.+=1 34C.+=1 42

x2y2x2y2

B.+=1 43D.+=1 43

x2y2

x2y2

解析:本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识,考查数形结合的数学思想方法,

x2y2

意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力.依题意,设椭圆方程为2+2=1(a>b>0),

abc=1,??c1所以?=,

a2??c=a-b,

2

2

2

解得a=4,b=3.

22

答案:D

x2y23222.(2012山东)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x-y=1的渐近

ab2

线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )

A.+=1

82C.

+=1 164

x2y2x2

B.D.

+=1 126+=1 205

x2x2

y2y2

y2

解析:因为椭圆的离心率为

2

2

2

3c32323222122,所以e==,c=a,c=a=a-b,所以b=2a2444

x2x2x2x25x2

a,即a=4b.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得2+2=1,即2+2=2=

ab4bb4b42242222

1,所以x=b,x=±b,y=b,y=± b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C5555的交点坐标为(

25

b,

25

b),所以四边形的面积为4×

25

2

1622

b=b=16,所以b=5,

55

所以椭圆方程为+=1.

205

答案:D

x2y2

x2y2

3.(2013新课标全国Ⅰ)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的

ab

直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )

A.C.

+=1 B.+=1 45363627+=1 2718

x2x2

y2y2

x2x2

y2

D.

+=1 189

y2

解析:本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题,意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力.运用两点式得到直线的方程,代入椭圆方程,消去y,由根与系数的关系得到a,b之间的关系,并由a,b,c之间的关系确定椭圆方程.因为直1xy线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程2+2=

2ab3292222?2?a2

1消去y,得?+b?x-ax+a-ab=0,所以AB的中点的横坐标为2=1,即a24?4?2??a2?+b??4?=2b,又a=b+c,所以b=c=3,选择D.

答案:D

4.(2011新课标全国)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2

在x轴上,离心率为方程为____.

2

.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的2

2

2

2

2

2

2

2

32a2

x2y22c2

解析:根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为2+2=1(a>b>0),∵e=,∴=.ab2a2

根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=22,

所以椭圆方程为+=1.

168答案:+=1

168

x2y2

x2y2

x2y2

5.(2013新课标全国Ⅱ)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,Pab是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )

A.

3

6

1B. 3D.3 3

1C. 2

解析:本题主要考查椭圆离心率的计算,涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识,意在考查考生的运算求解能力.

法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=3m,故离心率e==ca

2c|F1F2|3m3===. 2a|PF1|+|PF2|2m+m3

b2

法二:由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以

ab2b222

|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=3|PF2|,故2c=3·,变形可得3(a-c)

aa=2ac,等式两边同除以a,得3(1-e)=2e,解得e=

答案:D

2

2

3

或e=-3(舍去). 3

x2y2

6.(2013四川,5分)从椭圆2+2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左

ab焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )

A.2 42 2

1B. 2D.3 2

C.

解析:本题主要考查椭圆的简单几何性质,意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思

b??想.由已知,点P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得P?-c,?.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,

a??bb2c222222

即-=-,则b=c,∴a=b+c=2c,则=,即该椭圆的离心率是.

aaca22

答案:C

2

x2y27.(2012新课标全国,5分)设F1,F2是椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点,Pab3a为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )

2

1A. 23C. 4

2B. 34D. 5

33

解析:由题意可得|PF2|=|F1F2|,所以2(a-c)=2c,所以3a=4c,所以e=.

24答案:C

8.(2011浙江,4分)设F1,F2分别为椭圆+y=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上,3

x2

2

uuuruuuur若F1A=5F2B,则点A的坐标是________.

解析:根据题意设A点坐标为(m,n),B点坐标为(c,d).F1、F2分别为椭圆的左、右

uuuruuuur焦点,其坐标分别为(-2,0),(2,0),可得F1A=(m+2,n),F2B=(c-2,d).∵uuuruuuurm+62nc2

∴c=,d=.∵点A、B都在椭圆上,∴+d=1,F1A=5F2B,

553

2

m+62

5

3

2

+()5

n2

=1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为(0,±1).

答案:(0,±1)

x2y2

9.(2011辽宁,12分)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线l与椭

abuuuruuur圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,AF=2FB.

(1)求椭圆C的离心率;

15

(2)如果|AB|=,求椭圆C的方程.

4

解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0. (1)直线l的方程为y=3(x-c),其中c=a-b.

2

2

??y=3x-c,联立?x2y2

2+2=1??ab2

2

2

2

4

得(3a+b)y+23bcy-3b=0.

-3bc+2a-3bc-2a解得y1=,y2=. 2222

3a+b3a+b2

2

uuuruuur因为AF=2FB,所以-y1=2y2.

3bc+2a-3bc-2a即=2·. 2222

3a+b3a+b2

2

c2得离心率e==.

a3

(2)因为|AB|=

1243ab151+|y2-y1|,所以·22=. 3433a+b2

c25

由=得b=a. a33

515

所以a=,得a=3,b=5.

44椭圆C的方程为+=1.

95

x2y2

x2y2

备选10.[2014·江西卷] 设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2

ab

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