中考试题二次函数与几何图形综合题

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二次函数与几何图形综合题

1.如图,抛物线y??x2?4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.

(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式; (2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;

(3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

第1题图

解:(1)∵在y??x2?4中,当y=0时,即?x2?4=0, 解得x=±2.

当x=0时,即y=0+4,解得y=4.

∴点A、B、C的坐标依次是A(-2,0)、B(2,0)、C(0,4). 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),

?2k?b?0则?, ?b?4?k?-2解得?,

b?4?∴直线BC的解析式为y=-2x+4; (2)∵点E在直线BC上, ∴设点E的坐标为(x,-2x+4), 则△ODE的面积S可表示为:

1S=x(-2x+4)=-x2+2x=-(x-1)2+1,

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∴当x=1时,△ODE的面积有最大值1, 此时,-2x+4=-2×1+4=2, ∴点E的坐标为(1,2);

(3)存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似,理由如下: 设点P的坐标为(x,-x2+4),0<x<2, ∵△OAC与△OPD都是直角三角形,

-x2?4xPDOD?, ∴分两种情况:①当△PDO∽△COA时,,有?42COAO解得x1?5?1,x2??5?1(不符合题意,舍去), 当x=5-1时,y=-(5-1)2+4=25-2. 此时点P的坐标为(5-1,25-2);

-x2?4xPDOD?, ②当△PDO∽△AOC时,?,有24AOCO解得x3??1?65?1-65,x4?(不符合题意,舍去), 44当x??1?65?1?652?1?65)?4?时,y??(,

448?1?65?1?65,), 48此时,点P的坐标为(

综上可得,满足条件的点P有两个:

P1(5-1,25?1?65?1?65?1?65-2),P2(,). 4482.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-4,0),B(-1,3), C(-3,3).

(1)求此二次函数的解析式;

(2)设此二次函数的对称轴为直线l,该图象上的点P(m,n)在第三象限,其关于直线l的对称点为M,点M关于y轴的对称点为N,若四边形OAPN的面积为20,求m、n的值.

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第2题图

解:(1)将A(-4,0),B(-1,3),C(-3,3)代入y=ax2+bx+c,

?16a?4b?c?0?得?a?b?c?3, ?9a?3b?c?3?解得:a=-1,b=-4,c=0. 故此二次函数的解析式为y=-x2-4x;

(2)如解图所示:由题可知,M、N点坐标分别为(-4-m,n),(m+4,n), 四边形OAPN的面积=(OA+NP)÷2×n=20, 即4n=20, ∴n=5.

∵点P(m,n)在第三象限, ∴n=-5,

∴-m2-4m+5=0, 解得m=-5或m=1(舍去),

第2题解图

故所求m、n的值分别为-5,-5. 3. 如图,在直角坐标系内有 点 P(1,1)、点 C(1,3)和二次函数y??x2 . (1)若二次函数y??x2的图象经过平移后以点C 为顶点,请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法;

(2)若(1)中平移后的抛物线与x轴交于点A、点B(A点在B点的左侧),求 cos∠PBO的值;

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