备战2020-2021高考数学
难点25 圆锥曲线综合题
圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.
●难点磁场
x2y2(★★★★)若椭圆2?2=1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交
ab点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域.
●案例探究
［例1］已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属 ★★★★★级题目.
知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识. 错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的.
技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,
圆k的半径R=|AK|=(x0?a)2?y0?x0?a2 ∴|MN|=2R2?x0?2x0?a2?x0=2a(定值) ∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.
(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中， 令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0 ∴y1y2=y02－a2
∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1－y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1－y2|
∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0. ∴0≤x0≤
22222a2与R=x0?a的大小. 2a. 2a2≤a,而圆k半径R=x0?a2≥a. 2且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.
圆心k到抛物线准线距离d=x0+
x2y2［例2］如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆?mm?1及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||
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(1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值.
命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目.
知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值. 错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点.
技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.
解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1 ∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).
a2故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.
c∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)
?y?x?1?考虑方程组?x2,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) y2?1???mm?1整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0 Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2
?2m. 2m?1又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=
∴|AB|=|xB－xA|=2=(xB－xA)·2,|CD|=2(xD－xC) ∴||AB|－|CD||=2|xB－xA+xD－xC|=2|(xB+xC)－(xA+xD)| 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·2=|故f(m)=
22m?2m|·2= (2≤m≤5)
2m1?2m22m，m∈［2,5］. 2m2222m，可知f(m)=
12m2?m111又2－≤2－≤2－
25m10242∴f(m)∈［］ ,93(2)由f(m)=
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42102，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.
93［例3］舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻
故f(m)的最大值为
醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是
203g3千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？
命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.
错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.
技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.
解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，23).
由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为3x－3y+73=0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线
x2y2=1的右支上. ?45直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.
据已知两点的斜率公式，得kPA=3,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.
设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=
203g2v?sin?10，则0, ?3gv0?cos?∴sin2θ=
10gv02?3,∴仰角θ=30°. 2●锦囊妙计