二次函数压轴题分类精选---面积比值

1.如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(点A作直线AC∥x轴,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式;

,﹣3)和点B(3,0).过

(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出对应点P的坐标;

(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值,即可确定出解析式; (2)设P坐标为(x,x2﹣

x),表示出AD与PD,由相似分两种情况得比例

求出x的值,即可确定出P坐标;

(3)存在,求出已知三角形AOC边OA上的高h,过O作OM⊥OA,截取OM=h,与y轴交于点N,分别确定出M与N坐标,利用待定系数法求出直线MN解析式,与抛物线解析式联立求出Q坐标即可. 【解答】解:(1)把A(解得:a=,b=﹣

x;

x),则有AD=x﹣,即

=

,PD=x2﹣,

x+3,

,﹣3)和点B(3

,0)代入抛物线得:

则抛物线解析式为y=x2﹣(2)设P坐标为(x,x2﹣当△OCA∽△ADP时,

=

整理得:3x2﹣9解得:x=此时P(

x+18=2

x﹣6,即3x2﹣11

或x=

x+24=0,

,即x=

,﹣);

=

(舍去)

当△OCA∽△PDA时,

x2﹣9x+6

,即

,即x2﹣5或

=,

整理得:解得:x=此时P(4

=6x﹣6x+12=0,

,即x=4

,6).

(舍去),

综上,P的坐标为(,﹣)或(4

,6);

(3)在Rt△AOC中,OC=3,AC=根据勾股定理得:OA=2∵OC?AC=OA?h, ∴h=, ∵S△AOC=S△AOQ=

∴△AOQ边OA上的高为,

过O作OM⊥OA,截取OM=,过M作MN∥OA,交y轴于点N,如图所示:

在Rt△OMN中,ON=2OM=9,即N(0,9),

过M作MH⊥x轴,

在Rt△OMH中,MH=OM=,OH=设直线MN解析式为y=kx+9, 把M坐标代入得:=

k+9,即k=﹣

,即y=﹣

x+9,

OM=

,即M(

,),

联立得:,

解得:或,即Q(3,0)或(﹣2,15),

,0)或(﹣2

则抛物线上存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ,此时点Q的坐标为(315).

【点评】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,点到直线的距离公式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

2.如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式;

(2)若直线y=m(﹣3<m<0)与线段AD、BD分别交于G、H两点,过G点作EG⊥x轴于点E,过点H作HF⊥x轴于点F,求矩形GEFH的最大面积;

(3)若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分,面积分别为S1,S2,且S1:S2=4:5,求k的值.

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