考点一 万有引力定律的理解
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比． 2．表达式
m1m2－
F＝G2，G为引力常量：G＝6.67×1011 N·m2/kg2.
r3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 4．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图1所示．
图1
Mm
(1)在赤道上：G2＝mg1＋mω2R.
RMm
(2)在两极上：G2＝mg2.
R
Mm
(3)在一般位置：万有引力G2等于重力mg与向心力F向的矢量和．
R
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等
GMm
于重力，即2＝mg.
R[思维深化]
判断下列说法是否正确．
m1m2(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F＝G2决定，其方向总是指向地心．(√)
r(2)只有天体之间才存在万有引力．(×)
Mm
(3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G2计算物体间的万有引R力．(×)
(4)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)
1．[万有引力和重力的关系]静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B．物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C．物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D．物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 答案 B
解析 物体受到的万有引力和支持力的合力提供物体随地球运动的向心力，指向物体随地球做圆周运动的轨道的圆心，不一定是地心，所以A错；物体随地球自转，所以周期一定等于地球自转周期，B对；圆周运动的加速度和重力加速度只有在赤道上时方向相同，所以C错；物体受到的万有引力和物体对地面的压力只有在南北极和赤道上方向相同，所以D错． 2．[万有引力定律的理解]由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( ) R－dA. R＋h
?R－d??R＋h?2C.
R3?R－d?2B. ?R＋h?2?R－d??R＋h?D.
R2答案 C
M
解析 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G2.由
R4G·ρπR3
34GM4
于地球的质量为：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝2＝＝πGρR.23RR3根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加g′R－d4Mm
速度g′＝πGρ(R－d)．所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”
3gR?R＋h?2g′?R－d??R＋h?2aR2
的加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误． 322gaR?R＋h??R＋h?
GM
万有引力的“两点理解”和“两个推论”
1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． 2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． 3．万有引力的两个有用推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF＝0.
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同M′m
心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G2. r
引
考点二 中心天体质量和密度的估算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 v2Mm4π2r2
G2＝man＝m＝mωr＝m2. rrT
Mm
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G2＝mg(g表示天体表面的
R重力加速度)．