专题12 数余的扩充
———实数的概念与性质
阅读与思考
人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.
理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：
1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数整数，且p≠0）；
2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；
3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；
4．明确无理数的真实性. 克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”
想一想：
下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数；
②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数； ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数； ④一个无理数的平方一定是有理数.
例题与求解
【例1】 已知a?2?(b?4)?a?b?2c?0．则(ac)的平方根是________.
（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）
解题思路：运用式子的非负性，求出a，b，c的值．
【例2】若a，b是实数，且a?2q的形式（这里p，q是互质的p2bb?1?2?2b?4．则a?b的值是( ).
A．3或－3 B．3或－1 C．－3或－1 D．3或1
（湖北省黄冈市竞赛试题）
解题思路：由算术根的双非负性，可得b?1≥0，2?2b≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．
由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：
①a中a≥0； ②a≥0.
运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.
【例3】 已知实数m，n，p满足等式
m?199?n?199?m?n?3m?5n?2?p?2m?3n?p，求p的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现，互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解（m?199?n）（199?m?n）题的切入点．
【例4】已知a，b是有理数，且(?1331319)a?(?)b?2?13?0，求a，b的值． 2412420解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a，b的方程组.
实数有以下常用性质：
①若a，b都是有理数，c为无理数，且a?bc?0，则a＝b＝0;
②若a，b，c，d都是有理数，c，d为无理数，且“a?c?b?d，则a＝b，c?d． 要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾. 想一想
怎样证明2是无理数？
【例5】一个问题的探究
问题：设实数x，y，z满足xyz≠0．且x?y?z?0.
求证：
111111????? 222xyzxyz 在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题： (1)设a，b，c为两两不相等的有理数，求证：
111为 有理数． ??(a?b)2(b?c)2(c?a)2（2）设S?1?111111??1???????1??，求S的整数部分. 122222322008220092解题思路：从公式(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)入手． 【例6】设S1?1?222211111111S?1??，，，…，， ?S?1??S?1??n2322222222n(n?1)122334求S1?S2?????Sn的值（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
（四川省成都市中考试题）
解题思路：解答此题的关键是将Sn变形为一个代数式的平台。
能 力 训 练
A 级
1．在实数－4，
31，0，2?1，64，327，中，共有_______个无理数． 227 （贵州省贵阳市中考试题）
322．设a?33，b是a的小数部分，则(b?2)的值为____ .
(2013年全国初中数学竞赛试题)
a2?aba2?ab?23．已知a?4?b?9?0，则的值为_______． 22ba?b （山东省济南市中考试题）
4．观察下列各式：
1?1?2?3?4?12?3?1?1， 1?2?3?4?5?22?3?2?1，
1?3?4?5?6?32?3?3?1，(A?B)（:A?B)?(2x?y):(x?y)
猜测：1?2005?2006?2007?2008?________ .
（辽宁省大连市中考试题）
:A?B)?(2x?y):(x?y)，那么 5．已知有理数A，B，x，y满足A?B?0，(A?B)（