4343
区域d的体积为V1＝πR－πr.(7分)
33
V1r3126
∴P(A)＝＝1－()＝1－＝.
VR2727
(10分)
26
故砂粒距离球心不小于1 cm的概率为.(12分)
27[一点通]
如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算
P(A)＝
构成事件A的区域体积
.
试验的全部结果构成的区域体积
5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．
解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大101
于10的区域飞行时是安全的，故区域d为棱长为10的正方体，P(A)＝3＝.
3027
1
答案：
27
6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M- 1
体积小于的概率为________．
6
解析：设M到平面ABCD的距离为h，则
3
ABCD的
VM-ABCD＝S底ABCD·h＝，S底ABCD＝1，∴h＝.
1
∴只要点M到平面ABCD的距离小于.
2
11
所有满足点M到平面ABCD的距离小于的点组成以ABCD为底面，高为h(h＜)的长方体，又
22正方体棱长为1.
1211
∴使棱锥M-ABCD的体积小于的概率P＝＝.
6121
答案：
2
- 5 -
131612
利用几何概型计算事件概率分以下几步：
(1)判断是否为几何概型，此步关键是把事件看成一次试验，然后看试验是否是等可能试验，并且试验次数是否是无限的.
(2)计算基本事件与事件A所含的基本事件对应的区域的测度(长度、面积或体积)． (3)利用概率公式计算．
课下能力提升(十七)
一、填空题
1．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为 ________． 1
解析：[－1，2]的长度为3，[0，1]的长度为1，所以概率是.
31答案：
3
2．如图，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．
解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm的圆环上，圆环的面积为π×9－π×2＝77π cm，故所求概率为
77答案：
813.
2
2
2
77π77
＝. 81π81
- 6 -
如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，2
它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．
3
解析：由几何概型知，8答案：
3
4．一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
解析：边长为3，4，5三边构成直角三角形，
2282
＝，故S阴＝×2＝. S正方形333
S阴
P＝
＝
（3－1－1）＋（4－1－1）＋（5－1－1）
3＋4＋5
61＝. 122
1答案：
25.
如图，在平面直角坐标系中，∠xOT＝60°，以O为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT内的概率是________．
解析：以O为起点作射线，设为OA，则射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA落在锐角∠xOT内”为事件A，60
其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P(A)＝＝3601. 6
1答案： 6二、解答题
- 7 -
︵
6．点A为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B，求劣弧AB的长度小于1的概率．
解：
︵︵
如图，圆周上使AM的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧M1AM2的长度为2，
B点落在优弧M1AM2上就能使劣弧AB的长度小于1，所以劣弧AB的长度小于1的概率为.
7．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O距离大于1的概率．
解：区域D的体积V＝π×1×2＝2π，当P到点O的距离小于1时，点P落在以O为球心，2
1为半径的半球内，所以满足P到O距离大于1的点P所在区域d的体积为V1＝V－V半球＝2π－
34π＝π.
3
2
︵︵︵
23
V12
所求的概率为＝.
V3
8．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．
解：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当22－≤x－y≤. 33
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：
- 8 -