(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示习题(含解析)

第1节 函数及其表示

考试要求 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段).

知 识 梳 理

1.函数与映射的概念

两个集合A,B 函数 设A,B是两个非空数集 映射 设A,B是两个非空集合 如果按照某种确定的对应关系f,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,使对于集合A中的任意一个元素对应关系f:A→B 在集合B中都有唯一确定的数x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射 映射:f:A→B f(x)和它对应 称f:A→B为从集合A到集合B名称 的一个函数 记法 2.函数的定义域、值域

函数y=f(x),x∈A (1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. [常用结论与易错提醒]

1.由函数解析式确定定义域的原则

1

(1)分式中,分母不为0; (2)偶次根式中,被开方数非负;

(3)对于幂函数y=x,如果α≤0,要求x≠0; (4)对数函数中,真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)指数函数的底数大于0且不等于1;

1

(6)正切函数y=tan x要求x≠kπ+π,k∈Z.

22.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.

基 础 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=1与y=x是同一个函数.( )

(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y=x+1-1的值域是{y|y≥1}.( )

(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )

解析 (1)函数y=1的定义域为R,而y=x的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一函数.

(3)由于x+1≥1,故y=x+1-1≥0,故函数y=x+1-1的值域是{y|y≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时,才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(必修1P25B2改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )

2

2

2

0

2

0

α

解析 A中函数定义域不是[-2,2],C中图形不表示函数图象,D中函数值域不是[0,2]. 答案 B

3.设函数y=4-x的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.(1,2) C.(-2,1)

2

2B.(1,2] D.[-2,1)

解析 由4-x≥0得-2≤x≤2,∴A=[-2,2],由1-x>0得x<1,∴B= (-∞,1).∴A∩B=[-2,1),故选D.

2

答案 D

??x-2,x≤2,a4.已知a为实数,设函数f(x)=?则f(2+2)的值为( )

?log2(x-2),x>2,?

aA.2 C.2

aaaB.a D.a或2

a解析 因为2+2>2,所以f(2+2)=log2(2+2-2)=a,故选B. 答案 B

5.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)=__________. 解析 由题意得g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1, ∴g(x)=2x-1. 答案 2x-1

??e,x≤0,

6.设函数f(x)=?则

??ln x,x>0,

xf?f???=__________,方程f(f(x))=1的解集为

2

??1??????

__________.

111?1???1???1?解析 因为f??=ln ,所以f?f???=f?ln ?=eln =.令f(x)=t,由f(t)=1,解得222?2???2???2?

t=0或t=e,所以再解f(x)=0及f(x)=e,解得x=1或x=ee,所以方程f(f(x))=1的

解集为{1,e}. 1e

答案 {1,e}

2

考点一 求函数的定义域

【例1】 (1)(2019·金丽衢十二校联考)函数y=3-2x-x的定义域是________,值域是________.

(2)若函数y=f(x)的定义域是[1,2 020],则函数g(x)=____________.

解析 (1)由3-2x-x≥0,得-3≤x≤1,所以函数y=3-2x-x的定义域为

[-3,1].当x=-1时,y=3-2x-x取得最大值2,当x=1或-3时,y=3-2x-x取得最小值0,所以函数y=3-2x-x的值域为[0,2]. (2)∵y=f(x)的定义域为[1,2 020],

22

2

2

2

2

e

f(x+1)

的定义域是

x-1

3

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