2017年浙江省高考数学试卷(真题详细解析)

|+|=|﹣|=令x=

, , ,y=

则x2+y2=10(x、y≥1),其图象为一段圆弧MN,如图, 令z=x+y,则y=﹣x+z,

则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4, 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大, 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的也就是圆弧MN所在圆的半径的所以zmax=

×

=

倍,

倍,

综上所述,|+|+|﹣|的最小值是4,最大值是故答案为:4、

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.

16.(4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 660 种不同的选法.(用数字作答)

【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男,再计算即可

【解答】解:第一类,先选1女3男,有C63C21=40种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,故有40×12=480种,

第二类,先选2女2男,有C62C22=15种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,故有15×12=180种,

根据分类计数原理共有480+180=660种, 故答案为:660

【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题

17.(4分)已知a∈R,函数f(x)=|x+﹣a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是 (﹣∞,] .

【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5,进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5,进而计算可得结论.

【解答】解:由题可知|x+﹣a|+a≤5,即|x+﹣a|≤5﹣a,所以a≤5, 又因为|x+﹣a|≤5﹣a, 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a, 所以2a﹣5≤x+≤5, 又因为1≤x≤4,4≤x+≤5, 所以2a﹣5≤4,解得a≤, 故答案为:(﹣∞,].

【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.

三、解答题(共5小题,满分74分) 18.(14分)已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2

sinx cosx(x∈R).

(Ⅰ)求f()的值.

(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式, (Ⅰ)代入可得:f(

)的值.

(Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得f(x)的最小正周期及单调递增区间 【解答】解:∵函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2(2x+

)=2sin(2×

+

)=2sin

=2, sinx cosx=﹣

sin2x﹣cos2x=2sin

(Ⅰ)f(

(Ⅱ)∵ω=2,故T=π, 即f(x)的最小正周期为π, 由2x+x∈[﹣

∈[﹣+kπ,﹣

+2kπ,

+2kπ],k∈Z得:

+kπ],k∈Z,

+kπ,﹣

+kπ]或写成[kπ+

,kπ+

],k

故f(x)的单调递增区间为[﹣∈Z.

【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函数的单调区间,难度中档.

19.(15分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. (Ⅰ)证明:CE∥平面PAB;

(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

【分析】(Ⅰ)取AD的中点F,连结EF,CF,推导出EF∥PA,CF∥AB,从而平

面EFC∥平面ABP,由此能证明EC∥平面PAB.

(Ⅱ)连结BF,过F作FM⊥PB于M,连结PF,推导出四边形BCDF为矩形,从而BF⊥AD,进而AD⊥平面PBF,由AD∥BC,得BC⊥PB,再求出BC⊥MF,由此能求出sinθ.

【解答】证明:(Ⅰ)取AD的中点F,连结EF,CF, ∵E为PD的中点,∴EF∥PA,

在四边形ABCD中,BC∥AD,AD=2DC=2CB,F为中点, ∴CF∥AB,∴平面EFC∥平面ABP, ∵EC?平面EFC, ∴EC∥平面PAB.

解:(Ⅱ)连结BF,过F作FM⊥PB于M,连结PF, ∵PA=PD,∴PF⊥AD,

推导出四边形BCDF为矩形,∴BF⊥AD, ∴AD⊥平面PBF,又AD∥BC, ∴BC⊥平面PBF,∴BC⊥PB,

设DC=CB=1,由PC=AD=2DC=2CB,得AD=PC=2, ∴PB=

=

=

BF=PF=1,∴MF=,

又BC⊥平面PBF,∴BC⊥MF,

∴MF⊥平面PBC,即点F到平面PBC的距离为,

∵MF=,D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等,为,

E为PD中点,E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点,即中位线, ∴E到平面PBC的距离为, 在

由余弦定理得CE=

=

设直线CE与平面PBC所成角为θ,则sinθ=

【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.

20.(15分)已知函数f(x)=(x﹣(1)求f(x)的导函数;

(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.

【分析】(1)求出f(x)的导数,注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求; (2)求出f(x)的导数,求得极值点,讨论当<x<1时,当1<x<时,当x>时,f(x)的单调性,判断f(x)≥0,计算f(),f(1),f(),即可得到所求取值范围.

【解答】解:(1)函数f(x)=(x﹣导数f′(x)=(1﹣?=(1﹣x+

)e﹣x(x≥),

)e﹣x

)e﹣x(x≥).

?2)e﹣x﹣(x﹣

)e﹣x=(1﹣x)(1﹣)e﹣x;

)e﹣x,

(2)由f(x)的导数f′(x)=(1﹣x)(1﹣可得f′(x)=0时,x=1或,

当<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减; 当1<x<时,f′(x)>0,f(x)递增; 当x>时,f′(x)<0,f(x)递减, 且x≥

?x2≥2x﹣1?(x﹣1)2≥0,

则f(x)≥0.

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