3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程
知识梳理
1.由直线上一定点及其斜率确定的方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.它的方程是y-y0=k(x-x0),应用时应注意斜率k存在.
2.由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的方程叫做斜截式方程,简称斜截式.它的方程是y=kx+b,应用时应注意斜率k存在.
3.经过两定点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程叫做两点式方程,简称两点式.它的方程是
y?y1x?x1?,使用时应注意x1≠x2且y1≠y2.若x1=x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方
y2?y1x2?x1程是x=x1或y=y1.
4.经过两定点(a,0),(0,b)的直线方程叫做截距式方程,简称截距式,它的方程是应注意a≠0且b≠0.
5.把关于x、y的二元一次方程Ax+By+c=0叫做一般式方程,简称一般式.应用时应注意A,B不同时为零.若一般式化为点斜式、两点式,由于取点不同,得到的方程也不相同. 知识导学
要学好本节内容,首先要明确确定一条直线的几何要素,即直线上一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,两点也可以确定一条直线.
根据所给的几何要素,明确各种形式的适用范围,确定直线的方程是本节的重点,也是难点,切记不要漏掉直线的特殊情况.直线方程的各种形式之间可相互转化,如给定两点,除了直接用两点式求直线方程外,还可用点斜式求直线的方程,若两点是直线与坐标轴的交点,还
xy?=1.ab
可用截距式写直线的方程.
一般地,点斜式常用于求过定点的问题;斜截式常用于判定直线的位置关系;截距式常用于画方程的直线等.在直线的斜截式和截距式中的截距不是距离,而是一个数量,它可正、可负、也可为零. 疑难突破
1.直线的点斜式方程.
剖析:若直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l上不同于
点P0的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得k=
y?y0,可化为y-y0=k(x-x0).
x?x0注意:(1)如果直线l过点P0(x0,y0)且与y轴垂直,这时倾斜角为0°,即k=0,由点斜式得y=y0. (2)如果直线过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程表示为x=x0. (3)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类: ①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0); ②斜率不存在的直线,方程为x=x0.
一般来说,以一个方程的解为坐标的点都是某一条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 由于过点P0(x0,y0)的斜率为k的直线的点都满足方程y-y0=k(x-x0),同时,满足该方程的点都在过点P0(x0,y0),斜率为k的直线上,且该方程是由点的坐标和直线的斜率确定的,所以该方程叫做直线的点斜式方程.
2.直线方程的截距式和两点式之间有什么关系?用这两种方法表示直线时有什么局限性? 剖析:已知直线l上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,则直线l的方程为
y?y1x?x1? (x1≠x2,y1≠y2).
y2?y1x2?x1 由于该方程是由直线上两点确定的,它又叫直线的两点式方程.
特别地,若直线l与x轴的交点为(a,0),与y轴的交点为(0,b),(其中a≠0,b≠0), 因为直线l经过A(a,0)、B(0,b)两点, 将这两点的坐标代入两点式,得整理得
y?0x?a, ?b?00?axy?=1, ab此即直线AB的方程.
我们经常称a为直线在x轴上的截距,b为直线在y轴上的截距.以上直线方程是由直线在x轴、y轴上的截距确定的,所以叫做直线方程的截距式.显然,截距式是两点式的特例. 直线的两点式和截距式中,要使方程有意义,必须保证其分母不为零,即直线的两点式和截距式既不能表示与x轴垂直的直线,也不能表示与y轴垂直的直线.特别地,直线的截距式还不能表示过原点的直线.当用待定系数法求在两坐标轴上截距相等的直线方程时,若设成截距时,要注意直线过原点的情况.
截距可取一切实数,即可为正数、零、负数;在此要区分开截距与距离,距离必须大于或等于零.
求截距的方法:在直线l的方程中,令x=0,解出y的值,可得直线l的纵截距.令y=0,解出x的值,可得直线l的横截距. 3.如何理解直线方程的一般形式？ 剖析:(1)两个独立的条件可求一般式方程.
求直线方程,表面上需求A、B、C三个系数,由于A、B不同时为零,若A≠0,则方程化为x+
ACBCBCACy+=0,只需确定、的值;若B≠0,则方程化为?y?=0,只需确定、的
BBAAAABB值.因此只要给出两个条件,就可以求出直线方程.