１.１ 从?1，2，???，50?中找两个数?a,b?，使其满足
（1） |a?b|?5；
（2）|a?b|?5
a?b?5a?b??5解：（1）根据|a?b|?5 可得 或 则有
45种45种 共有90种。
b?5?a?b?5（2）根据|a?b|?5 得 {
a,b?(1,2,???,50) 则：当b?5时，有
b?1 ， 1?a?6， 则有 6种
b?2 ， 1?a?7， 则有7种
b?3 ， 1?a?8， 则有8种
b?4 ， 1?a?9， 则有 9种
b?5 ， 1?a?10， 则有10种
当5?b?45时，有
b?6 ， 1?a?11， 则有 11种
b?7 ， 2?a?12， 则有 11种
. . . . . . . . .
b?45 ， 40?a?50， 则有11种
当45?b?50时，有
b?46 ， 41?a?50， 则有 10种
b?47 ， 42?a?50， 则有 9种
b?48 ， 43?a?50， 则有 8种
b?49 ， 44?a?50， 则有 7种
b?50 ， 45?a?50， 则有 6种
故：共 40?11?2(10?9?8?7?6)?520种
1.2 （1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进
行排列，总方案数为5！×8！
（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间
5的8个空位种的任意5个，总方案数为7！×P8
（3）应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B女生x 女生y 女生z A的形
3式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为P考虑A,B可以换位，5，3方案为2×P然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男5，3生，一共7个人进行排列，总方案数2×P5×8！
1.3 m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若 （a）男生不相邻（m≤n+1）；
（b）n个女生形成一个整体； （c）男生A和女生B排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：
(a)n!p(n+1,m) (b)(m+1)!n! (c)2(m+n-1)!
1．4 26个英文字母进行排列，求X和Y之间有五个字母的排列数？ 解:排列数为C(24,5)*5！*2*20！
1.5 求3000到8000之间的奇整数的数目，且没有相同的数字。 解：设四位数为n3n2n1n0.
由已知可知，n3只能取，3，4，5，6，7，8，n0只能取1,3,5,7,9. 分以下两种情况讨论：
1.当n3取3，5，7的时候，由于是不能重复的，所以n0只能有4种选择，而剩下的n2,n1分别有8，7种选择。 所以符合条件的数，根据乘法原理有：
3*4*8*7=672.个
2.当n3取4，6，8时，由于是不能重复的,所以n0有5种选择，而剩下的
n2,,n1分别有8，7种选择，所以符合条件的数，根据乘法原理有： 3*5*8*7=840个
所以综上所述，符合条件的数，根据加法原理共有： 672+840=1512个 1.6
1*1!+2*2!+3*3!????+(n-1)*(n-1)! 根据公式得
1*1!+2*2!+3*3!????+(n-1)*(n-1)!=n!-1
1.7 试证 （n+1）(n+2)…(2n)被2k除尽。 证明：
(n?1)(n?2)...(2n)?(2n)!2n(2n?1)!(2n?1)!??2n!n(n?1)!(n?1)!(2n?2)(2n?1)(2n?3)!(2n?1)(2n?3)!?2?22?...
(n?1)(n?2)!(n?2)!?2n(2n?1)(2n?3)...3所以（n+1）(n+2)…(2n)能被2k除尽。
1.8 求1040和2030的共因数的数目. 解: 10 40=2 40 * 5 40
20 30=260 * 5 30
∴ 1040和2030的公因子有40*30=1200 个
1.9 试证n的平方的正除数的数目是奇数 答案：因为n的平方一定是两个数的乘积，一定是两个不同的数的乘积或唯一的一个相同的 数的乘积。例如，16可以是1*16，2*8或4*4，前面的都是成对出现的，只有4是一个 数，所以他们的和一定是奇数。 1.10 证明任一正整数n可唯一地表示成如下形式： n=?ai?i!, 0?ai?i, i?1
i?1证明：对n用数学归纳法
① 当n=0,1时，0=0?1! , 1=1?1!。命题成立。 ② 假设对于小于n的非负整数，命题成立。
③
0?n?k! 对
?(k于
?1n
k)?!，
k ?设k!?n?(，k?k?即
??kk?k?由②，对n?k!命题成立。设n?k!??ai?i!，其中0?ai?i，
i?1!不能等于k?k!)，那么而0?ak?k?1 (原因是0?n?k!?k?kn??ai?i!?k!??ai?i!?(ak?1)?k!，其中0?ak?1?k，命题成立。
i?1i?1kk?1再证唯一性：
设n??ai?i!??bi?i!，不妨设aj?bj，j?min{i|ai?bi}，即
i?1i?1kka1?1!?a2?2!?a3??3!?b1?1?b!2?2?b3!??， 3?!?假设a1?b1，a2?b2，a3?b3，则j=3。那么，因为ai与bi前j项相等，上式两边均减去前j项，即?aii!??bii!，即
i?ji?jajj!?aj?1(j?1)!?aj?2(j?2)!??bjj!?bj?1(j?1)!?bj?2(j?2)!?
将上式两边都除以(j?1)!，得
ajj!(j?1)!?aj?1?aj?2(j?2)??bjj!(j?1)!?bj?1?bj?(2j?2)?
可以看出，上式的余数为ajj!=bjj!与假设矛盾。因此ai是唯一的 1.11求证：nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1) 证明：
左边=C(n,1)C(n-1,r) 右边=C(r+1,1)C(n,r+1)
=C(n,1)C(n-1,r+1-1) =C(n,1)C(n-1,r) =左边
所以等式成立。 1—12 试证: 证明:
(1+
?kC(n,k)?n2k?1nnn?1
=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x2+?+C(n,n)xn
两边求导,并令x=1代入
n(1+1)n?1=C(n,1)+C(n,2)x+C(n,3)x2+? +C(n,n)xn?1 n2
n?1??kC(n,k)
k?1n组合意义:
设有n个不同的小球,A,B两个盒子,A盒中恰好放1个球,B盒中可放任意个球.有两种方法放球:
第一种: 先从n个球中取k个球(k≥1),在从k中挑一个放入A盒,方案数共为?kC(n,k),其余放入B盒.
k?1n第二种: 先从n个球中任取一球放入A盒,剩下n-1个球每个球有两种可能,要么放入B盒,要么不放,故方案数为n2n?1, 显然相等.
1.13：有N个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组的最小数大于第二组的最大数。
解：本题求取两组数的取法。
我们首先从N中去M个数（2<=M<=N）,因为M个数是不同的，所以存在一个递增的序列A=a1,a2,a3,a4……aM (a1 1.14 6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从一个特定引擎开始有多少方案？ 解： 设6个引擎分别为1、2、3、4、5、6 不失一般性，我们把1、2、3放在第一排，4、5、6放到第二排。 由题意知从一个特定引擎开始，不妨设从1开始，那么 （1）1开启之后，下一个开始点有4、5、6三种选择 （2）第二排的一个开启之后，下一个开始点有2，3两种选择 （3）然后第一排，第二排剩下俩，那么有两种选择 （4）然后第一排只剩一个，第二排只剩一个，所以就剩一种选择 所以，由乘法法则 方案数=3×2×2×1×1=12 1.15试求从1到1000000的整数中，0出现了多少次？ 解：先考虑1到99 9999. 个位为零的整数出现99999×1次 为：10—999990 十位为零的整数出现9999×10次 为：101—999909 百位为零的整数出现999×100次 为：1000—999099 千位为零的整数出现99×1000次 为：10000—990999 万位为零的整数出现9×10000次 为：100000—909999 而100 0000本身有6个零 所以从1到1000000的整数中，0出现的次数为： 99999×1+9999×10+999×100+99×1000+9×10000+6=488895 1.16 n个完全一样的球放在r个有标志的盒子里面?n?r? ，无一空盒，问有多少种方案？ 解：r个盒子无一空盒，说明先要从n个球中取出r个先放每个盒中一个； 余下n-r个无标志的球，放入r个有标志的盒子中，根据定理可以得出 结果是C?r?n?r?1,n?r??C?n?1,n?r? 。 1.17 n和r都是正整数，而且r?n，试证下列等式 ?11) prn?nprn?1 2) prn?(n?r?1)prn?1 3) prn?nprn?1,r?n n?r4) prn?1?prn?rprn?1 ?1r5) prn?1?r!?r(prn?1?prn?????p1r?1)