算法设计与分析习题解答1-6章

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如：

第一趟：甲，乙过桥且甲回来 第二趟：甲，丙过桥且甲回来 第一趟：甲，丁过桥 一共用时19小时

9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？

设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。

如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题4

1. 分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。

2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。

O(N)=2*O(N/2)+x

O(N)+x=2*O(N/2)+2*x

a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x 由此可知，时间复杂度可达到O(n);

3.分治策略一定导致递归吗？如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。

不一定导致递归。

如非递归的二叉树中序遍历。

这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。

4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。

归并排序：

第一趟：（5,3）（1,9）； 第二趟：（3,5,1,9）； 第三趟：（1,3,5,9）；

快速排序：

第一趟：5（ ,3,1,9）；//5为哨兵，比较9和5 第二趟：5（1,3, ,9）；//比较1和5，将1挪到相应位置； 第三趟：5（1,3, ,9）;//比较3和5； 第四趟：（1,3,5,9）;

5. 设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。

//简单的分治问题

//将数组均衡的分为“前”，“后”两部分

//分别求出这两部分最大值，然后再比较这两个最大值

#include using namespace std;

extern const int n=6;//声明 int main() { int a[n]={0,6,1,2,3,5};//初始化 int mid=n/2; int num_max1=0,num_max2=0; for(int i=0;i<=n/2;++i)//前半部分 { if(a[i]>num_max1) num_max1=a[i]; } for(int j=n/2+1;jnum_max2) num_max2=a[j]; } if(num_max1>=num_max2) cout<<\数组中的最大元素： \ else

cout<<\数组中的最大元素： \ return 0; }

时间复杂度：O（n）

6. 设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。

//采用分治法

//将数组分为0-k-1和k-n-1两块 //将这两块分别左移 //然后再合并左移

#include using namespace std;

void LeftReverse(char *a, int begin, int end) {

for(int i=0;i<(end-begin+1)/2;i++)//交换移动 {

int temp=a[begin+i]; a[begin+i]=a[end-i]; a[end-i]=temp; } }

void Converse(char *a,int n,int k) {

LeftReverse(a, 0, k-1); LeftReverse(a, k, n-1); LeftReverse(a, 0, n-1); for(int i=0;i

int main() {

char a[7]={'a','b','c','d','e','f','g'}; Converse(a,7,3); return 0; }

7. 设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。 #include

using namespace std;

int data[100];

//在m个数中输出n个排列数（n<=m） void DPpl(int num,int m,int n,int depth) {

if(depth==n) {

for(int i=0;i

for(int j=0;j

if((num&(1<

DPpl(num+(1<

int main() {

DPpl(0,5,1,0); DPpl(0,5,2,0); DPpl(0,5,3,0); DPpl(0,5,4,0); DPpl(0,5,5,0);

return 0; }

8. 设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。

参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现

9. 在有序序列(r1, r2, …, rn)中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。 //在有序数组中

//采用二分法查找符合条件的元素

#include using namespace std;

void Findnum(int *a,int n) {

int low=0; int high=n-1;

while(low<=high) {

int mid=(low+high)/2; if(a[mid]==mid) { cout<<\这个数是： \ break; } else if(a[mid]>mid) high=mid-1; else low=mid+1; } }

int main() { int a[7]={1,0,2,5,6,7,9}; Findnum(a,7); return 0; }

时间复杂度为O(log2n)。

10. 在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。

//先对序列进行快速排序 //再进行一次遍历 //输出众数的重复次数

#include using namespace std;

int partions(int b[],int low,int high) {

int prvotkey=b[low];