第七讲多元函数积分学(一)

实用标准文案

第七讲 多元函数积分学(一)

知识点分析:

一、二重积分

1、二重积分的概念:

设二元函数f(x,y)定义在有界闭区域D上,则二重积分

?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni

b?ad?cb?ad?c i,c?j)???n??nnnni?1j?1Di111ijj先提出?,在凑出,,可以看出是0到1上的x,是0到1上的y,是0到1

nnnnnnn上的dx,dy

注:①二重积分的存在性,也称二元函数的可积性,设平面有界闭区域D由一条或几条逐段光滑闭曲线围成,当f(x,y)在D上连续时,或者f(x,y)在D上有界,且在D除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的,则f(x,y)在D上可积。 ②极限存在与D的分割方式无关。d??dx?dy

精确定义求极限问题:

f(x,y)d??lim??f(a?nn③几何意义曲顶柱体的体积V?2、二重积分的性质 (1)区域面积

??f(x,y)d?;物理意义D的质量m????(x,y)d?。

DD??d??A,其中A为区域D的面积。

D(2)可积函数必有界:当f(x,y)在闭区域D上可积时,则f(x,y)在D上必有界 (3)线性性质:

???kD1 f(x,y)?k2g(x,y)?d??k1??f(x,y)d??k2??g(x,y)d?k1,k2为常数。

DD(4)可加性:D?D1D2,D1 D2??,??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?。

DD1D2(5)保号性:若在D上f(x,y)?g(x,y),则

特殊的有|??f(x,y)d????g(x,y)d?;

DD??f(x,y)d?|???DDDf(x,y)d?。

D(6)估值定理:设M?maxf(x,y),m?minf(x,y),D的面积为?,则有

m????f(x,y)d??M?

D(7)二重积分中值定理:设函数f(x,y)在闭区域D上连续,D的面积为?,则至少存在一点(?,?)?D使得

??f(x,y)d??f(?,?)??。

D3、二重积分的计算 (1)直角坐标系计算法

①X型:D?(x,y)?1(x)?y??2(x),a?x?b,?1(x),?2(x)在?a,b?上连续,则

????Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy

②Y型:D?(x,y)?1(y)?x??2(y),c?y?d,?1(y),?2(y)在?c,d?上连续,则

????f(x,y)d???Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx

(2)极坐标系计算法

精彩文档

实用标准文案

D??(r,?)?1(?)?r??2(?),??????其中?1(?),?2(?)在??,??上连续,则

??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??2(?)??1(?)f(rcos?,rsin?)rdr

注意:X型,Y型和极坐标的相互转化有时可方便解题?4、二重积分的对称性

?x?rcos?

y?rsin????f(x,y)d?,记D为其对称区域的一半

1D?0?(1)若D关于x轴对称,有??f(x,y)d???2f(x,y)d???D??D1?0?(2)若D关于y轴对称,有??f(x,y)d???2f(x,y)d???D??D1,f(x,?y)=?f(x,y),f(x,?y)=f(x,y) ,f(?x,y)=?f(x,y),f(?x,y)=f(x,y)

,f(?x,?y)=?f(x,y)?0?(3)若D关于原点对称,有??f(x,y)d???2f(x,y)d?,f(?x,?y)=f(x,y)

??D??D1(4)(轮换对称性)若D关于y?x对称,有??f(x,y)d????f(y,x)d?

DD若y?x将D分成D1,D2两部分,有??f(x,y)d????f(y,x)d?

D1D2二、三重积分

1、三重积分的概念

设三元函数f(x,y,z)定义在三维有界空间区域?上,则三重积分

?f(?,?,????f(x,y,z)dv?lim???0kki?1nk)?vi

b?ad?cf?eb?ad?cf?e i,c?j,e?k)?????n???nnnnnni?1j?1k?1?i111ijkj方法:先提出??,在凑出,,,可以看出是0到1上的x,是0到1上的y,

nnnnnnnn1k是0到1上的z,是0到1上的dx,dy,dz。

nnf(x,y,z)dv?lim???f(a?2、三重积分的性质 (1)区域面积

nnn???dv?V,其中V为区域?的面积。

?(2)可积函数必有界:当f(x,y,z)在闭区域?上可积时,则f(x,y,z)在?上必有界 (3)线性性质:

????k?1f(x,y,z)?k2g(x,y,z)?dv?k1???f(x,y,z)dv?k2???g(x,y,z)dv,

??k1,k2为常数。

(4)可加性:???1?2,?1?2??,

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv。

??1?2(5)保号性:若在?上f(x,y,z)?g(x,y,z),则

精彩文档

???f(x,y,z)dv????g(x,y,z)dv;

??实用标准文案

特殊的有|???f(x,y,z)dv|???????f(x,y,z)dv。

?(6)估值定理:设M?maxf(x,y,z),m?minf(x,y,z),?的体积为V,则有

mV????f(x,y,z)dv?MV

?(7)三重积分中值定理:设函数f(x,y)在闭区域?上连续,?的体积为V,则至少存在一点(?,?,?)??使得3、三重积分的计算

(1)坐标平面投影法(二套一)??(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?Dxy

???f(x,y,z)dv?f(?,?,?)?V。

??????f(x,y,z)dv??????Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzdxdy???dxdy?D?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

(2)坐标轴投影法(一套二)??(x,y,z)(x,y)?Dz,a?z?b

??????f(x,y,z)dv??ba??Dzf(x,y,z)dxdydz??dz??f(x,y,z)dxdy

aDzb(3)柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”

x??cos?,y??sin?,z?z,其中0?????,0???2?,???z???

???f(x,y,z)dv????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz

??(4)球坐标计算法

x?rsin?cos?y?rsin?sin?z?rcos?其中0?r???,0???2?,0????

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r??2sin?drd?d?

4、三重积分的对称性

(1)若?关于xoy平面对称,则

,f(x,y,?z)??f(x,y,z)?0? f(x,y,z)dv?,?1为对称区域的一半。?2???f(x,y,z)dv,f(x,y,?z)?f(x,y,z)???????1同理与?关于yoz平面对称和xoz平面对称

(2)轮换对称性:若?关于x,y,z具有轮换对称性(即若?x,y,z???,将x,y,z意互换后的点也属于?),则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值

???f(x,y,z)dv????f(y,x,z)dv????f(y,z,x)dv

???当:

???f(x)dv????f(y)dv????f(z)dv,有???[f(x)?????f(y)f?(z)]dv3?f(xd)v????

三、重积分的应用 1、曲面的面积

设曲面由方程z?f(x,y)组成,则曲面的面积A?若光滑曲面方程为F(x,y,z)?0,且Fz?0,则

??D2?21?z?x?zydxdy

FyF?z?z??x,??,(x,y)?Dxy ?xFz?yFz?A???DFx2?Fy2?Fz2Fzdxdy

2、质心

精彩文档

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4