第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
[最新考纲] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
图① 图②
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.
.
( ) ( )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．
( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
.
( )
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为 m.
502 [由正弦定理得
＝，
sin∠ACBsin B50×1222
ABAC又∵B＝30°，∴AB＝
ACsin∠ACB＝
sin B＝502(m)．]
2.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝ 米．
2
a [由题图可得∠PAQ＝α＝30°， 2
∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°，
∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， ∴
＝，
sin 30°sin 15°
6－2
a， 2
aPB∴PB＝
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝
6－22
a×sin 60°＋asin 15°＝a.] 22
3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝ .
3
a [由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝2
AC·sin∠ACB＝
3a.] 2
考点1 解三角形中的实际问题
利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解． (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由
炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.
(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为 米．
(1)103 (2)40013 [(1)如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝
＝103(m)，
3
×30 3
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝900＋300－2×30×103×
3 2