第二章 随机变量及其分布
1、解：
设公司赔付金额为X，则X的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010
投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X的分布律为： 25 0 0 P000.0002 .0010 .9988 2、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
解：X可以取值3，4，5，分布律为
P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?21?C23C5?11021?C33C5P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310?610P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?21?C43C5 也可列为下表 X： 3， 4，5
136P： ,,1010103、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。
3C1322 P(X?0)?3?C1535P(X?1)?P(X?2)?12C2?C133C1521C2?C133C15??12 351 35P 再列为下表 x O 1 2 X： 0， 1， 2
22121P： ,,3535354、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0 （2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。 1 / 16 （此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。 －解：（1）P (X=k)=qk1p k=1,2,?? （2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功} P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr,n?0,1,2,?,其中 q=1－p， r?1rk?r或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ck,k?r,r?1,? ?1p(1?p) （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45 k=1,2… P (X取偶数)= ?k?1?P(X?2k)??k?1?(0.55)2k?10.45?11 315、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。 （1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。 （3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，? P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去} 21 =()n?1?， n=1，2，?? 33（2）Y的可能取值为1，2，3 1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} 211 =?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} 2!1 =? 3!3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}= (3)P{X?Y}????P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?133?P{Y?k}P{X?Y|Y?k}?P{Y?k}P{X?k}3?全概率公式并注意到? ??P{X?Y|Y?1}?0?? ??注意到X,Y独立即 k?2 P{X?Y|Y?k} 111121?8?????????P{X?k}27333??333??同上，P{X?Y}?k?23?P{Y?k}P{X?Y|Y?k} k?12 / 16 ??k?13P{Y?k}P{X?k}?11121419 ??????333932781故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?38 816、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ 225?22P(X?2)?C5pq?C5?(0.1)2?(0.9)3?0.0729 （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ 345P(X?3)?C5?(0.1)3?(0.9)2?C5?(0.1)4?(0.9)?C5?(0.1)5?0.00856 （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ 012P(X?3)?C5(0.9)5?C5?0.1?(0.9)4?C5?(0.1)2?(0.9)3 3?C5?(0.1)3?(0.9)2?0.99954 （4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951 7、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率 。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率 解： 设X为 A发生的次数。 则X?B?0.3,n?. n=5，7 B:“指示等发出信号“ ① P?B??P?X?3?? ②P?B??P?X?3??71?P?X?K??1??P?X?K? k?306225k?37?C5k50.3k0.75?k?0.163 2 ?1?0.7?G?0.3?0.7?G0.3?0.7?0.353 8、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数 由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。 P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) 11 = (0.4)3× (0.3)3+ [C3?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] 22 ?[C3?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?(0.7)3?0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) 3 / 16