可化为一元二次方程的分式方程
【学习目标】
1．掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解，并会验根． 2．会列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题． 【主体知识归纳】
1．找最简公分母，一般要把各分母分解因式，找出各分母的公因式和公倍式，确定最简公分母． 2．用最简公分母乘方程两边时，不要漏乘任一项，特别是整数或整式项．
3．解分式方程时，用各分式的最简公分母去乘方程的两边，约去分母，化为整式方程，这样得到的整式方程的解有时与原方程的解相同，但也有时与原方程的解不同，或者说产生了不适合原分式方程的解，因此，解分式方程时必须要进行检验．
【基础知识讲解】
1．解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程． 2．解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法． 3．用去分母法解分式方程的具体步骤是： (1)把方程两边都乘以最简公分母，约去分母； (2)解所得的整式方程； (3)验根．
4．用换元法解分式方程的具体步骤是：
(1)观察、分析方程的特点，探索换元的途径； (2)设辅助未知数；
(3)用辅助未知数的代数式表示原方程中另外含有未知数的式子，把原方程化为只含有辅助未知数的方程；
(4)解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；
(5)把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值； (6)验根，作答．
5列可化为一元二次方程的分式方程解应用题的步骤是： (1)审清题意； (2)设未知数；
(3)根据题意找相等关系，并列出分式方程； (4)解方程；
(5)检验根是否是原分式方程的根；
(6)检验所得的根是否符合实际问题的题意； (7)写出答案． 【例题精讲】
3x?x21例1：解方程＝2＋． 21?x1?x剖析：要先把方程的各个分式的分母能分解的都分解，以便找出最简公分母．
3x?x21解：原方程就是－＝2．
1?x(1?x)(1?x)方程两边都乘以(1＋x)(1－x)，约去分母，得1＋x－(3x－x)＝2(1＋x)(1－x)．
2
整理后，得3x－2x－1＝0，解这个方程，得x1＝1，x2＝－
2
1． 31代入(1＋x)(1－x)，它3检验：把x＝1代入(1＋x)(1－x)，它等于0，所以x＝1是增根；把x＝－不等于0，所以x＝－
1是原方程的根． 31∴原方程的根是x＝－．
3说明：(1)为确定最简公分母，首先要将分式方程中能分解因式的分母进行分解因式．
(2)方程两边都乘以(1＋x)(1－x)时，整数2这一项一定不要漏乘，否则就错了．
6x?22x2?6x?4例2：解方程2． ?5?3x?1x?3x?2剖析：去分母法是解分式方程的通用方法，但有些方程用此法时，解题过程很繁，如本题会出现五次
2(3x?1)2(x2?3x?2)方程，通过观察、分析知，原方程可变形为2．方程左右两边的两个分式中?5?3x?1x?3x?2x2?3x?23x?1的2与互为倒数，根据这一特点，可以用换元法来解．
3x?1x?3x?22(3x?1)2(x2?3x?2)解：原方程可化为2． ?5?3x?1x?3x?212x2?3x?23x?1设2＝y，那么＝，于是原方程可变形为2y＝5－．
yy3x?1x?3x?2方程的两边都乘以y，约去分母，得2y－5y＋2＝0． 解这个方程，得y1＝2，y2＝当y＝2时，
2
1． 23x?12
＝2，去分母，整理，得2x＋3x＋3＝0． 2x?3x?22
∵Δ＝3－4×2×3＝9－24＜0，∴此方程没有实数根．
12
当y＝时，去分母，整理，得x－3x＝0，解得，x1＝0，x2＝3．
2检验：把x1＝0，x2＝3分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根． ∴原方程的根是x1＝0，x2＝3．
说明：将根代入原方程的分母，各分母都不等于0，说明是原方程的根，这里有一个前提条件是：在
0．因
此，要认真解题，保证解得的根准确，这样验根才有意义．
例3:电冰箱压缩机厂接受一批4800台的无氟压缩机的订单，为了提前2天完成任务，必须把生产效1率提高．问提高效率后，每天应生产多少台无氟压缩机?
3480048001解：设按原定天数，每天生产x台，那么提高效率后，每天生产(1＋）x台．根据题意，得－)
13x(1?)x3＝2．
444方程两边同乘以x，得4800×－4800＝2×x．
333
整理，得8x＝4800．解得x＝600．
经检验，x＝600是所列方程的根并适合原题意．
14）x＝600×＝800 33答：提高效率后，每天应生产800台无氟压缩机．
例4:电冰箱压缩机厂接受一批4800台的无氟压缩机的订单，为了提前2天完成任务，需每天比原来多生产200台．原定每天生产多少台?
解：设原定每天生产x台．
48004800根据题意，得＝2． ?xx?200方程两边同乘以x（x＋200），得4800（x＋200）－4800x＝2x（x＋200），
2
整理，得x＋200x－480000＝0，解得x1＝600，x2＝－800
经检验，x＝600和x＝－800都是所列分式方程的根，但x＝－800不合题意，舍去． 答：原定每天生产600台．
说明：例3、例4为同一事情所编出的两道应用题，仅已知条件有一点差别．若要提前完成订单任务，
1需每天比原来多生产才行．例3已知比原来提高效率，例4已知比原来每天多生产200台，在所列未知
3数x表示的量完全相同的前提下，都由题意列得一个分式方程，但转化为整式方程后，例3得到一元一次方程，例4却得到一元二次方程．这一差别主要是因为例3的分式方程去分母时同乘以的公分母是一次式4x，且原方程各分子均不含x，例4的分式方程去分母时同乘以的公分母本身就是x（x＋200)．因为所3列的都是分式方程，故首先检验是否有增根，再对分式方程的根检验是否符合应用题的题意，最后作答．
例5：A、B两码头相距48千米，一轮船从A码头顺水航行到B码头后，立即逆水航行返回到A码头，共用了5小时；已知水流速度为4千米/时，求轮船在静水中的速度．
剖析：(1)顺水速度：v顺＝v船＋v水，逆水速度：v逆＝v船－v水．
(2)等量关系：轮船顺流航行时间与轮船逆流航行时间之和等于5小时，根据题意，可以列出方程．
4848解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得＝5． ?x?4x?42
方程的两边都乘以(x＋4)(x－4)，约去分母，整理得5x－96x－80＝0．
4解这个方程，得x1＝20，x2＝－．
54经检验，x1＝20，x2＝－都是原方程的根，但速度为负数不合题意，所以只取x＝20．
5答：轮船在静水中的速度为20千米/时． 【同步达纲练习】 1．选择题
12(1)方程＋1的解为（ ） ?21?x1?xA．0 B．－1 C．2 D．－1或2
（1＋
2x2?6x(2)方程＝x＋5的实数根的个数是( )
x?3A．1 B．2 不对
C．3 D．以上均