杭外初三数学竞赛试卷（二）
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶
在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )
（A）7.5秒 （B）6秒 （C）5秒 （D）4秒 2．将一张边长分别为a，b(a?b)的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕
的长为( )
b2a2a?b2 （B）a?b2 （A）abb22a22a?b （D）a?b （C）ab3．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白 两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱
D1 A1
D A
B (第3题)
B1
C1
C
向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→??，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→??，并且都遵循如下规则：所爬行的第n?2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
4．设m，n是正整数，满足m＋n＞mn，给出以下四个结论：① m，n都不等于1；
② m，n都不等于2；③ m，n都大于1；④ m，n至少有一个等于1．其中正确的结论是（ ）
（A）① （B）② （C）③ （D）④
5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长
度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高 点到水平线的距离为（ ） （A）
11704 （B） 10241024第一层
第二层
第三层
第四层
水平线
1705（C） （D）2
1024（第5题）
6．有10条不同的直线y?knx?bn（n = 1，2，3，?，10），其中k3?k6?k9，
1
b4?b7?b10?0，则这10条直线的交点个数最多有（ ）
（A）45个 （B）40个 （C）39个 （D）31个 二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）
E?AB7．在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使A连结EF交对角线AC于G，则
13AF?，
1AD，4AG的值是 ． AC· · 8．如图所示，一个半径为2的圆过一个半径为2的圆的圆心， 则图中阴影部分的面积为 ． 9．已知y=x?mx?6，当1≤m≤3时，y＜0恒
成立，那么实数x的取值范围是 ．
（第8题）
210．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，
规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为
1111?，?，xy?zyz?x6321111?．例如，输入1，2，3，则输出，，. 那么当输出的新数为，，
54334zx?y1时，输入的3个数依次为 ． 5输入 x，y，z
转换器 输出
111111?，?,? xy?zyz?xzx?y（第10题）
11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相
邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．
12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x?5ax?26a?143?0的两个根都是整数，
则a的值是 ．
2
2三、解答题（共4小题，满分54分） 13．（本题满分12分）
已知正三角形ABC，AB = a，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度作直线运动，且点P沿射线AB方向运动，点Q沿射线BC方向运动. 设AP的长为x，△PCQ的面积为S，
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）当AP的长为多少时？△PCQ的面积和△ABC的面积相等. 14．（本题满分12分）
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE＝AD，BE=BC，过E作EF∥BC 交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明的理由．
3
PDPC2PF??ADBCEFA D
E F
B
C