合工大《数字信号处理》习题答案
第2章
习 题
2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)?x(n?n0) （3）y(n)?x(n)sin(?n)
解： （1）T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?ay1(n)?by2(n)
所以是线性系统。 由于T[x(n)]?x(n?n0)
T[x(n?m)]?x(n?m?n0)?y(n?m)
所以是时不变系统。
（3）T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]sin(?n)?ay1(n)?by2(n)，
所以是线性系统。
T[x(n?m)]?x(n?m)sin(?n)?y(n?m)，所以不是时不变系统。
2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）y(n)?x(n)?x(n?1) （3）y(n)?e解：
（1）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后（(n?1)时间）的输入有关。如果|x(n)|?M，则|y(n)|?|x(n)|?|x(n?1)|?2M，因此系统是稳定系统。
（3）系统是因果系统，因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|?M，则
x(n)
|y(n)|?|ex(n)|?e|x(n)|?eM，因此系统是稳定系统。
2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n)，试说明该系统是否是因果、稳定的。 （1）h(n)?2u(n)
n 1
（3）h(n)??(n?2)
解：（1）当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的。
由于
n????|h(n)|?2?0?21?22????
所以系统不稳定。
（3）当n?0时，h(n)?0，所以系统是非因果的。
由于
n????|h(n)|?1
?所以系统稳定。
2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示，试求输出
y(n)。
解：
y(n)?h(n)?x(n)?[2?(n)??(n?1)?0.5?(n?2)]?x(n)
?2x(n)?x(n?1)?0.5x(n?2)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2)?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)
2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。
（1）h(n)?R4(n)，x(n)?R5(n) （3）h(n)?0.5u(n)，x(n)?R4(n) 解：（1）y(n)?x(n)?h(n)?R4(n)?R5(n)
n?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?R5(n)?R5(n)?R5(n?1)?R5(n?2)?R5(n?3)??(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?4?(n?3)?4?(n?4)?3?(n?5)?2?(n?6)??(n?7)n（3）y(n)?x(n)?h(n)?0.5u(n)?R4(n)
2
?0.5nu(n)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?0.5u(n)?0.5u(n?1)?0.5
2.10 设系统由下面差分方程描述：
nn?1n?2u(n?2)?0.5n?3u(n?3)
y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1) 22设系统是因果的，
（1）求该系统的单位抽样响应。 （2）利用卷积和求输入x(n)?ej?nu(n)的响应。
2.10 （1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5
......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)
（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)
= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/ (ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)
第3章 习 题
3.1 求下列序列的z变换，并标明收敛域。 （1）x(n)??(n?4)
?1?（2）x(n)???u(n)
?2??1?（3）x(n)????u(?n?1)
?2?解：（1）由z变换的定义可知，
?nnX(z)??n?????(n?4)zn?n?z?4，z?0
n?11?1??1??n?n（2）X(z)????u(n)z????z?，|z|?
12n????2?n?0?2?1?z?12 3