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合工大《数字信号处理》习题答案

第2章

习 题

2.4 设系统分别用下面的差分方程描述,x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。

(1)y(n)?x(n?n0) (3)y(n)?x(n)sin(?n)

解: (1)T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?ay1(n)?by2(n)

所以是线性系统。 由于T[x(n)]?x(n?n0)

T[x(n?m)]?x(n?m?n0)?y(n?m)

所以是时不变系统。

(3)T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]sin(?n)?ay1(n)?by2(n),

所以是线性系统。

T[x(n?m)]?x(n?m)sin(?n)?y(n?m),所以不是时不变系统。

2.5 给定下述系统的差分方程,试判定系统是否是因果稳定系统,并说明理由。

(1)y(n)?x(n)?x(n?1) (3)y(n)?e解:

(1)该系统是非因果系统,因为n时刻的输出还和n时刻以后((n?1)时间)的输入有关。如果|x(n)|?M,则|y(n)|?|x(n)|?|x(n?1)|?2M,因此系统是稳定系统。

(3)系统是因果系统,因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|?M,则

x(n)

|y(n)|?|ex(n)|?e|x(n)|?eM,因此系统是稳定系统。

2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n),试说明该系统是否是因果、稳定的。 (1)h(n)?2u(n)

n 1

(3)h(n)??(n?2)

解:(1)当n?0时,h(n)?0,所以系统是因果的。

由于

n????|h(n)|?2?0?21?22????

所以系统不稳定。

(3)当n?0时,h(n)?0,所以系统是非因果的。

由于

n????|h(n)|?1

?所以系统稳定。

2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示,试求输出

y(n)。

解:

y(n)?h(n)?x(n)?[2?(n)??(n?1)?0.5?(n?2)]?x(n)

?2x(n)?x(n?1)?0.5x(n?2)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2)?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)

2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况,分别求出输出y(n)。

(1)h(n)?R4(n),x(n)?R5(n) (3)h(n)?0.5u(n),x(n)?R4(n) 解:(1)y(n)?x(n)?h(n)?R4(n)?R5(n)

n?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?R5(n)?R5(n)?R5(n?1)?R5(n?2)?R5(n?3)??(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?4?(n?3)?4?(n?4)?3?(n?5)?2?(n?6)??(n?7)n(3)y(n)?x(n)?h(n)?0.5u(n)?R4(n)

2

?0.5nu(n)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?0.5u(n)?0.5u(n?1)?0.5

2.10 设系统由下面差分方程描述:

nn?1n?2u(n?2)?0.5n?3u(n?3)

y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1) 22设系统是因果的,

(1)求该系统的单位抽样响应。 (2)利用卷积和求输入x(n)?ej?nu(n)的响应。

2.10 (1)x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5

......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)

(2)y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)

= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/ (ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)

第3章 习 题

3.1 求下列序列的z变换,并标明收敛域。 (1)x(n)??(n?4)

?1?(2)x(n)???u(n)

?2??1?(3)x(n)????u(?n?1)

?2?解:(1)由z变换的定义可知,

?nnX(z)??n?????(n?4)zn?n?z?4,z?0

n?11?1??1??n?n(2)X(z)????u(n)z????z?,|z|?

12n????2?n?0?2?1?z?12 3

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