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3．1.2 复数的几何意义
填一填 1.复平面的定义
如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点→
的向量OZ是一一对应的．
3．复数的模
→→
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为OZ，则向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，
22
记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a＋b(r≥0，r∈R)．
判一判 1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(√) 解析：实数的虚部为0，对应纵坐标为0的实轴上点，故正确． 2．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(×)
解析：例z1＝1＋i，z2＝1－i有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不相等，故错误． 3．虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上．(×) 解析：原点在虚轴上不表示虚数，故错误．
4．第一象限的点都表示实部为正数的虚数．(√)
解析：第一象限的点横坐标为正，对应复数的实部，故正确．
5．实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限．(√)
解析：实部为正虚部为负的虚数对应的点的横坐标为正，纵坐标为负，是第四象限点，故正确.
金戈铁骑
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想一想 1.实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
提示：任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．
2．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？ 提示：向量的起点是原点与复数一一对应． 3．复数的模一定是正数吗？
提示：当z＝0时，|z|＝0；反之，当|z|＝0时，必有z＝0.故复数的模不一定是正数，复数的模是非负数，即|z|≥0.
4．若复数z满足|z|＝1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？ 提示：点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆． 思考感悟：
练一练
2
1．已知复数z＝m－2－(4－m)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为( )
A．0 B．2 C．－2 D．±2
解析：当点在虚轴上时，实部m－2＝0，∴m＝2. 答案：B
2．当0 解析：z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)， ∵0 → 3．向量OZ＝(0，－3)对应的复数是________． → 解析：易知向量OZ对应的复数为z＝0＋(－3)i＝－3i. 答案：－3i 4．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________. 解析：|z|＝4＋1＝5. 答案：5 知识点一 复数的几何意义 金戈铁骑 -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 2 1.当 3 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2 解析：∵ 3 ∴点(3m－2，m－1)在第四象限． 答案：D 2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( ) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) ??m＋3>0， 解析：由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以? ?m－1<0，? 解得－3 答案：A 3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析：由题意知A(6,5)，B(－2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为2＋4i. 答案：C 知识点二 复数的模 4.已知复数z满足|z|＝1，则z＝( ) A．±1 B．±i 22 C．a＋bi(a，b∈R)，且a＋b＝1 D．1＋i 22 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝1，得a＋b＝1.故选C. 答案：C 5．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 22 解析：∵|z1|＝a＋4，|z2|＝5，∴a＋4<5，∴－1 6．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________． 22 解析：∵|z|＝－5＋－12＝13，∴对应点到原点的距离为13. 答案：13 知识点三 复数几何意义的应用 7.在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数． 解析：方法一：由已知，得点A，B，C的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC?3?的中点为E?2，?. ?2? 由平行四边形的性质，知E也是BD的中点． 金戈铁骑