第13讲 万有引力与航天
[解密考纲]考查解决天体问题的两条基本思路，卫星各参量与半径的关系、天体质量和密度的计算、卫星变轨问题分析．
1．(2019·湖南五市十校期末联考)某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，其中a为近日点，c为远日点，若行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间 B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间 C．a到b的时间tab<
4D．c到d的时间tcd<
4
C 解析 根据开普勒第二定律知：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的．据此行星运行在近日点时，与太阳连线距离短，故运行速度大，在远日点，太阳与行星连线距离长，故运行速度小，即在行星运动中，远日点的速度最小，近日点的速度最大．图中a点为近日点，所以速度最大，c点为远日点，所以速度最小．则从d经a到
TTb的运动时间小于从b经c到d的运动时间，从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，
且a到b的时间tab<；c到d的时间tcd>，选项A、B、D错误，C正确．
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2．(2019·晋城三模)(多选)探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想．假设人类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时，测得其绕行速度为v，绕行一周所用时间为T，已知引力常量为G，则( )
A．火星表面的重力加速度为B．火星的半径为 2π3π
C．火星的密度为2
πv
TTTTvGTTv2
D．火星的质量为
2πGBC 解析 飞船在火星表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星的半径，根据v＝
2πR，
TMm4π2
得R＝，故选项B正确；根据万有引力提供向心力，有G2＝m2R，得火星的质量M＝
2πRTvT 1
4πR4πR23
23
3
GT2M3π4πR，根据密度公式得火星的密度ρ＝＝＝，故选项C正确；根据M＝ρ·GT2V4πR3GT23
3
3π4π?vT?3TvMmM＝2××??＝，故选项D错误；根据重力等于万有引力得，mg＝G2，得g＝G2
GT3RR?2π?2πG2πv＝，故选项A错误．
3
T3．(2019·衡水中学高三二调)(多选)使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系1
是v2＝2 v1，已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加
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速度g的，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则( )
6
A．该星球上的第一宇宙速度为3gR 3
B．该星球上的第二宇宙速度为C．该星球的平均密度为 28πRρD．该星球的质量为 81
3
gR3
ρmv2
BC 解析 该星球表面的重力加速度g′＝，由mg′＝可得星球第一宇宙速度v1＝
6Rg3
g′R3
＝
gR，第二宇宙速度为v2＝2v1＝，选项A错误，B正确；地球表面上物体
183
gRmMgR243
的重力等于万有引力，即G2＝mg，地球的质量为M＝＝ρ·πR，同理，星球的质量为
RG3
3
gR′24ρ2ρπR3
M′＝＝ρ′·πR′，联立解得 ρ′＝，M′＝，选项C正确，D错误．
G3281
4．(2019·青岛高三调研)行星A和B都可看作均匀球体，其质量之比是2∶1，半径之比是1∶2，则两颗行星的第一宇宙速度之比为( )
A．2∶1 B．1∶2 C．1∶1 D．4∶1
A 解析 根据万有引力提向心力 G2＝m，解得 v＝MmRvR2
GMvA，则有＝RvBGMARA＝GMBRBMARB＝MBRA 2
2
，故选项A正确，B、C、D错误． 1
5．(2019·北京丰台区高三一模)2018年2月12日，我国以“一箭双星”方式成功发射“北斗三号工程”的两颗组网卫星．已知某北斗导航卫星在离地高度为21 500千米的圆形轨道上运行，地球同步卫星离地的高度约为36 000千米．下列说法正确的是( )
A．此北斗导航卫星绕地球运动的周期大于24小时 B．此北斗导航卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度 C．此北斗导航卫星的线速度小于地球同步卫星的线速度 D．此北斗导航卫星的加速度小于地球同步卫星的加速度
B 解析 根据题意可知北斗导航卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以根据公
Mm4π2
式G2＝m2r可得T＝2π
rTr3，可知半径越大，周期越大，所以北斗导航卫星的周期小GMMmr2
于同步卫星周期即北斗导航卫星绕地球运动的周期小于24小时，选项A错误；根据公式G＝mωr可得ω＝2
GM，轨道半径越大，角速度越小，所以北斗导航卫星的角速度大于地r3
GM，可知轨道半径越大，rMmv2
球同步卫星的角速度，选项B正确；根据公式G2＝m可得v＝
rr线速度越小，所以北斗导航卫星的线速度大于地球同步卫星的线速度，选项C错误；根据公式G2＝ma可得a＝，轨道半径越大，向心加速度越小，故此北斗导航卫星的加速度大于地球同步卫星的加速度，选项D错误．
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6．(2019·洛阳二模)已知火星的质量约为地球质量的，其半径约为地球半径的，自92转周期与地球相近，公转周期约为地球公转周期的两倍．根据以上数据可推知( )
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A．火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的 32
B．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比约为
93
C．火星椭圆轨道的半长轴约为地球椭圆轨道半长轴的4 倍
D．在地面上发射航天器到火星，其发射速度至少达到地球的第三宇宙速度
C 解析 根据星球表面物体的重力等于万有引力，有mg＝G2，得g＝G2，火星表面与MmrGMrMmRMRg火M火R2144地
地球表面的重力加速度＝×2＝×＝，故选项A错误；第一宇宙速度即近地卫星的
g地M地R火919
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