万有引力与天体运动讲义
［本章要点综述］
1.开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。
r3?k （K值只与中心天体的质量有关） 2T2.万有引力定律： F万?G?m1m2 2r （1）赤道上万有引力：F引?mg?F向?mg?ma向 （g和a向是两个不同的物理量，） （2）两极上的万有引力：F引?mg
3.忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。
GMm2(黄金代换) ?mg?GM?gR2R4.距离地球表面高为h的重力加速度：
GMm?R?h?2?mg??GM?g??R?h??g??2GM?R?h?2
5.卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力 F万?(1)
GMm?F向 2rGMmGM （轨道处的向心加速度a等于轨道处的重力加速度g轨） ?ma?a?22rrGMmv2GMMmv2?m?v?(2)G2?m得 ∴r越大，v 2rrrrr(3)由GGMmGMMm22?m?r????得 ∴r越大， ?m?rr2r3r2(4)由
Mm4?2G2?m2rrT2得 ∴r越大，T
GMm4?2r3?2?? ?m??r?T?r2TGM??
6.中心天体质量的计算： 方法1：GM?gR2?M?gR2 （已知R和g） GGMv2r方法2：v? （已知卫星的V与r） ?M?rG23GM?r （已知卫星的?与r） 方法3：???M?3rG4?2r34?2r3方法4：T? （已知卫星的周期T与r） ?M?2GMGT?GM?v?3rvT （已知卫星的V与T） ?方法5：已知??M?2?G4?2r3?T??GM??GM?v?v3 （已知卫星的V与?，相当于已知V与T） r方法6：已知??M???G???GM?r3?7.地球密度计算： 球的体积公式：V?4?R3 3?4?2r3?M?2GT3??mM2?2 近地卫星 (r=R) ??3G2?m()r??2MM3?rGTrT???V?4?R3?GT2R3?3?8.发射速度：采用多级火箭发射卫星时，卫星脱离最后一级火箭时的速度。
运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度．当卫星“贴
着” 地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。
第一宇宙速度(环绕速度）：7.9km/s。卫星环绕地球飞行的最大运行速度。地球上发射卫星
的最小发射速度。
第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s 。 使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运
行，从地球表面发射所需的最小速度。
第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s。使人造卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外
的宇宙空间去，从地球表面发射所需要的最小速度。
［要点精析］
1、人造卫星
⑴万有引力提供向心力：
⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期 ①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，
T＝24 h.
②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度． ③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．
④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度约为h=3.6×104 km.
⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同．
2.卫星变轨和卫星的能量问题 ⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。 ⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。 ⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解 ①若 F供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动． ②若 F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动． ③若 F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行AB星)越近速率越大．
⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。
3.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同： 1．轨道半径：r同>r近＝r物 2．运行周期：T同＝T物>T近 3．向心加速度：a近>a同>a物
4.双心问题
在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星． 它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为 M1 和M2，相距 L，求它们的角速度．
如图 ，设 M1的轨道半径为 r1，M2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：
1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相