专题 弹簧类问题(附参考答案)
高考动向
弹簧问题能够较好的培养学生的分析解决问题的能力和开发学生的智力，借助于弹簧问题，还能将整个力学知识和方法有机地结合起来系统起来， 因此弹簧问题是高考命题的热点，历年全国以及各地的高考命题中以弹簧为情景的选择题、计算题等经常出现，很好的考察了学生对静力学问题、动力学问题、能量守恒问题、功能关系问题等知识点的理解，考察了对于一些重要方法和思想的运用。
弹簧弹力的特点：
弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx，其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。
高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能和加速度）。 不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。 弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。
在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变量x成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。）
一、与物体平衡相关的弹簧
例．如图示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( ) A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2
此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g／k2，而ml刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m2g／k2，因而m2移动△x＝(m1 + m2)·g／k2 -m2g／k2＝mlg／k2．参考答案:C
此题若求ml移动的距离又当如何求解? 二、与分离问题相关的弹簧 两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。
特点：1．接触；2．还没分开所以有共同的速度和加速度；3．弹力为零。
两种类型：
1．仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。 例．如图所示，两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力F压A，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力F，A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是（ ） A．木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长
B．木块A．B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力 C．木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B的总重力 D．木块A、B分离时，弹簧的长度可能大于原长
分析与解：以A为对象，既然已分开，那么A就只受重力，加速度竖直向下，大小为g；又未分开，A、B加速度相同，因此B的加速度也是竖直向下，大小为g，说明B受的合力为重力，所以
弹簧对B没有弹力，弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物体质量是否相同无关。 例．如图所示，质量均为m=500g的木块A、B叠放在一起，轻弹簧的劲度为k=100N/m，上、下两端分别和B与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力F拉A，使它以a=2．0m/s2的加速度向上做匀加速运动。求：⑴经过多长时间A与B恰好分离？⑵上述过程中拉力F的最小值F1和最大值F2各多大？⑶刚施加拉力F
瞬间A、B间压力多大？
分析与解：⑴设系统静止时弹簧的压缩量为x1，A、B刚好分离时弹簧的压缩量为x2。kx1=2mg，x1=0．10m。A、B刚好分离时，A、B间弹力大小为零，且aA=aB=a。以B为对象，用牛顿第二定律：kx2-mg=ma，得x2=0．06m，可见分离时弹簧不是原长。该过程A、B的位移s=x1-x2=0．04m。由s?得t=0.2s
⑵分离前以A、B整体为对象，用牛顿第二定律：F+kx-2mg=2ma，可知随着A、B加速上升，弹簧形变量x逐渐减小，拉力F将逐渐增大。开始时x=x1，F1+kx1-2mg=2ma，得F1=2N；A、B刚分离时x=x2，F2+kx2-2mg=2ma，得F2=6N
⑶以B为对象用牛顿第二定律：kx1-mg-N=ma，得N=4N
2．除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。（弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长，）可看成连接体。
例。一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。
分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有： mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma
当N=0时，物体与平板分离，所以此时x?因为x?12at，2m(g?a) k12at，所以t?22m(g?a)。
ka例．如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,则F的最小值是 ，F的最大值是 。
分析与解：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0-0.2s这段时间内P向上运动的距离： x=mg/k=0.4m 因为x?122xat，所以P在这段时间的加速度a?2?20m/s2 2t当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin=ma,又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N.
当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.
三、圆周运动中的弹簧
例．如图所示，离心机的光滑水平杆上穿着两个小球A、B，质量分别为2m和m，两球用劲度系数为k的轻弹簧相连，弹簧的自然长度为l．当两球随着离心机以角速度ω转动时，两球都能够相
对于杆静止而又不碰两壁．求（1）A、B的旋转半径rA和rB．（2）若转台的直径为2L，求角速度ω的取值范围．
分析与解：（1）因为弹簧对A、B两球的弹力相等，知A、B两球做圆周运动的向心力相等，有：
2mrAω2=mrBω2 所以：rB=2rA．
根据牛顿第二定律得：2mrAω2=k(rA+rB-L) 解得：rA?kL2kL， r?B223k?2m?3k?2m?（2）若转台的直径为2L，则rB＜L． 因为：rB?2kLk，解得： ??22m3k?2m?例．A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相
连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上，如图所示，当m1与m2均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2．求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？ （2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？ 分析：（1）B球绕OO′做匀速圆周运动，靠弹簧的弹力提供向心力，求出弹簧的弹力，根据胡克定律即可得出弹簧的伸长量．A球在水平方向上受绳子的拉力和弹簧的弹力，两个力合力提供A球做圆周运动的向心力，从而求出绳子的拉力．
（2）绳子突然烧断的瞬间，绳子拉力立即消失，弹簧的弹力来不及发生变化，根据牛顿第二定律分别求出两球的合力，从而得出两球的加速度．
分析与解：（1）对B球有：F=m2(l1+l2)ω 2，
m2?2(l1?l2)又根据胡克定律得：F=kx 所以x?
k对A球有：T-F=m1l1ω 2 所以T=m2ω2(l1+l2)+m1ω2l1
m2?2(l1?l2)故弹簧的伸长量为x?，绳子的张力为T=m2ω2(l1+l2)+m1ω2l1．
k（2）烧断细绳的瞬间，拉力T=0，弹力F不变
FFm2?2(l1?l2)??2(l1?l2) 根据牛顿第二定律，对A球有：aA?对B球有：aB??m2m1m1小结：解决本题的关键知道匀速圆周运动的向心力靠合力提供，以及知道在烧断细绳的瞬间，
拉力立即消失，弹簧的弹力来不及改变，烧断细绳的前后瞬间弹力不变．
四．瞬时问题中的弹簧 例．质量分别为m和2m的小球P、Q用细线相连，P用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是( )
A．若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g B．若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为0和g C．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g D．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0
分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上，因此剪断瞬间P的加速度为向上2g，而Q的加速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线