江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试 数学-含答案

23.(本小题满分10分)

设n?N*,n?3,k?N*. (1)求值:

kk?1 ①kCn?nCn?1;

②kCn?n?n?1?Cn?2?nCn?1(k?2);

2kk?2k?12021222k2n(2)化简:1Cn?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn.

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.

2353 6. 7.

3645?398. 63 9. 10. 4 11. 12.512 13. 14.

122825 51. ??1? 2. 1 3. 12 4. 9 5.

二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.证明:(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE//BC, ...............2分

ABC?A1B1C1中,

B1C1//BC,所以

B1C1//DE. ...............4分

B1C1?平面A1DE,DE?平面A1DE,所以B1C1∥平面

A1D. E ...............6分

(2)在直三棱柱ABC?A1B1C1中,CC1?底面ABC,

DE?底面

ABC,所以

CC1?DE. ...............8分

又BC?AC,DE//BC,所以DE?AC, ...............10

又又

CC1,AC?平面平

ACC1A1,且

C1C所

?AC,C所以

DE?平面

D?E平

ACC1A1. ...............12分

DE?A1D,EA1ACC1A1. ...............14分

(注:第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE?平面ACC1A1,类似给分) 16.解:(1)由bsin2C?csinB,根据正弦定理,得2sinBsinCcosC?sinCsinB, …………2分

因为,所以sB?Ci?cosC?1, …………4分 2又,C?(0,?)所以

C??3. …………6分

2????),所以B??(?,),

33333?3 又,所sin(B?)?35??4cos(B?)?1?sin2(B?)?. …………8分

3352?2?又A?B?,即A??B,

33(2)因为C??,所以B?(0,以

所以

sA?2??B?s334134?????2525?33?3. …………10Bi分 ………12

14分

17.解:(1)因0?b?2,所以椭圆E的焦点在x轴上,

又圆O:x?y?b经过椭圆E的焦点,所以椭圆的半焦距c?b, ……………3分

222x2y2??1. ……………6所以2b?4,即b?2,所以椭圆E的方程为4222分

(2)方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(x0,y0),

?x2y2?1??222联立?4,消去y,得(1?2k)x?4kmx?2m?4?0, 2?y?kx?m?4km2k22x?x2m?2k?1所以x1?x2??,又,所以, ??1221?2kmkk1所以x0??,y0?m?k??, ……………10

mm2m分

11111. ……………14分 k1?k2?2m?2m?2???222kk?2(2m?2k)2??1??14k?4mmm?x12y12??1??42方法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(x0,y0), 则?, 22?x2?y2?1??42?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0,

两式作差,得

42x0?x1?x2?y?y?y?x?y0?y1?y2??0,∴0?012?0,又x1?x2?2x0,y1?y2?2y0,∴ 22x1?x2y?y2?k,∴x0?2ky0?0,① 又P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线y?kx?m上,∴1x1?x2又T(x0,y0)在直线y?kx?m上,∴y0?kx0?m,②

2km由①②可得,x0??1?2k2my0?. ……………10分 21?2k以下同方法一.

18.解:如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.

y (1)因为AB?18,AD?6,所以半圆的圆心为H(9,6), 半径r?9.设太阳光线所在直线方程为y??即3x?4y?4b?0, ...............2分 则由3x?b, 4D ←南 |27?24?4b|32?42?9,

· H C 3解得b?24或b?(舍).

2故

线

? B 第18题 G E A x 程为直线方

3y??x?24, ...............5分

4令x?30,得EG?1.5米?2.5米.

所以此时能保证上述求. ...............7分 (2)设AD?h米,AB?2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r. 方法一:设太阳光线所在直线方程为y??采

3x?b, 4|3r?4h?4b|?r, 即3x?4y?4b?0,由223?4解得b?h?2r或b?h?2r(舍). ...............93x?h?2r, 4455令x?30,得EG?2r?h?,由EG?,得h?25?2r. ...............11

22故太阳光线所在直线方程为y??分

1233?r?2rh??r2?2r(25?2r)??r2 22255??r2?50r??(r?10)2?250?250.

22当且仅当r?10时取等号.

所以当AB?20米且AD?5米时,可使得活动中心的截面面积最

所以S?2rh?大. ...............16分

方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长EG恰为2.5米,则此时点G为(30,2.5),

53

设过点G的上述太阳光线为l1,则l1所在直线方程为y-=-(x-30),

24

3x?4y?100?0. ...............10分

由直线l1与半圆H相切,得r?|3r?4h?100|.

5而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h-100<0, 即r??分

3r?4h?100,从而h?25?2r. ...............13

512355?r?2r(25?2r)??r2??r2?50r??(r?10)2?250?250. 2222当且仅当r?10时取等号.

所以当AB?20米且AD?5米时,可使得活动中心的截面面积最

又S?2rh?大. ...............16分

x19.解:(1)当a?2时,方程g(e)?0即为2e?x1?3?0,去分母,得 ex

xx2(ex)2?3ex?1?0,解得e?1或e?1, ……………22分

所求方程的根为

x??ln2. ……………4分 (2)因为?(x)?f(x)?g(x)?lnx?ax?故

x?0或

a?1?3(x?0), x1a?1ax2?x?(a?1)(ax?(a?1))(x?1)?所以??(x)??a?2?(x?0), ……………6

xxx2x2①当a?0时,由??(x)?0,解得x?0;

a?1; a③当0?a?1时,由??(x)?0,解得x?0; ④当a?1时,由??(x)?0,解得x?0;

a?1⑤当a?0时,由??(x)?0,解得0?x?.

aa?1综上所述,当a?0时,?(x)的增区间为(0,);

a当0?a?1时,?(x)的增区间为(0,??);

?(x)时,的增区间为a?1a?1(,??). .……………10分 a(3)方法一:当a?1时,g(x)?x?3,h(x)?(x?3)lnx,

3333所以h?(x)?lnx?1?单调递增,h?()?ln?1?2?0,h?(2)?ln2?1??0,

x22233lx01???0,所以存在唯一x0?(,2),使得h?(x0)?0,即n .……………12

x02②当a?1时,由??(x)?0,解得x?分

当x?(0,x0)时,h?(x)?0,当x?(x0,??)时,h?(x)?0,

(x0?3)239所以hmin(x)?h(x0)?(x0?3)lnx0?(x0?3)(?1)???6?(x0?),

x0x0x093

记函数r(x)?6?(x?),则r(x)在(,2)上单调递增, .……………14

x2

所以r()?h(x0)?r(2),即h(x0)?(?,?), 由2???323212所以存在整数?满足题意0. .……………16分

3,且?为整数,得??0, 2,且

?的最小值为

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