方法二：当a?1时，g(x)?x?3，所以h(x)?(x?3)lnx，
由h(1)?0得，当??0时，不等式2??h(x)有解， .……………12分
下证：当???1时，h(x)?2?恒成立，即证(x?3)lnx??2恒成立. 显然当x?(0,1][3,??)时，不等式恒成立， 只需证明当x?(1,3)时，(x?3)lnx??2恒成立.
22， ?0.令m(x)?lnx?x?3x?312x2?8x?9?所以m?(x)??，由m?(x得x?4?7， .……………14)?0，
x(x?3)2x(x?3)2即证明lnx?分
当x?(1,4?7)，m?(x)?0；当x?(4?7,3)，m?(x)?0； 所以mmax(x)?m(4?7)?ln(4?7)?所以当???1时，h(x)?2?恒成立. 分
20．（1）①方法一：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
7?12?1?ln(4?2)??ln2?1?0. 33综上所述，存在整数?满足题意，且?的最小值为0. .……………16
?b2014?0?b2013?0，
?b2015?b2014?3?3，
?b2016?b2015?3?6. ……………3分
方法二：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
∴b1?1，b2?4，b3?7，b4?0?b3?0，b5?b4?3?3，b6?b5?3?6，b7?0?b6?0，… ∴当n?4时，?bn?是周期为3的周期数列. …3分
②方法一：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴b3n?2?b3n?1??b3n?1?d??b3n?1??qb3n?d??b3n?1???q?b3n?1?d??d???b3n?1?2d?6， ∴?b3n?1?是以b2?4为首项、6为公差的等差数列， 又
∴b2016?b6?6. …………
b3n?2?b3n?1?b3n??b3n?1?d??b3n?1??b3n?1?d??3b3n?1，
??b3n?2?b3n?1?b3n?
n?n?1????b3n?1??3?4n??6??9n2?3n， …………
2???S3n??b1?b2?b3???b4?b5?b6???3?b2?b5…6分
S3nS3n??c?，设，则???cn?max， n3n?13n?1229?n?1??3?n?1?9n2?3n?2?3n?2n?2?又cn?1?cn?， ??nn?1n?1333S3n???3n?1，?
22当n?1时，3n?2n?2?0，c1?c2；当n?2时，3n?2n?2?0，cn?1?cn，
∴c1?c2?c3????，∴?cn?max?c2?14， ……………9分
∴
，??14 ? , ? ……………10分 ?. 4得
???1方法二：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴b3n?1?b3n，∴b3n?3?b3n?b3n?3?b3n?1?2d?6，∴?b3n?是首项为b3?7、公差为6的等差数列，
∴b3?b6??b3n?7n?易知?bn?中删掉?b3n?的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，
n?n?1??6?3n2?4n， 2?b1?b2?b4?b5??b3n?2?b3n?1?2n?1??S3n??3n2?4n???6n2?n??9n2?3n， ……………
…6分
以下同方法一.
（2）方法一：设?bn?的段长、段比、段差分别为k、q、d，
则等比数列?bn?的公比为
2n?2n?1??3?6n2?n， 2bk?1?q，由等比数列的通项公式有bn?bqn?1， bkmk?1kkbq?mbq?mq?bkm?2?bkm?1?d，当m?N时，即bq1???d?恒成立， ……………12
分
①若q?1，则d?0，bn?b； ②若q?1，则q经
检
n?1km?dn?1km，则q为常数，则q??1，k为偶数，d??2b，bn???1?b；
?q?1?b足
条
件
的
验，满
?bn?的通项公式为
bn?b或
bn???1?b. ……………16分
方法二：设?bn?的段长、段比、段差分别为k、q、d，
①若k?2，则b1?b，b2?b?d，b3??b?d?q，b4??b?d?q?d，
222由b1b3?b2，得b?d?bq；由b2b4?b3，得?b?d?q??b?d?q?d，
联立两式，得?分
?d?0?d??2bn?1或?，则bn?b或bn???1?b，经检验均合题意. …………13
?q?1?q??1②若k?3，则b1?b，b2?b?d，b3?b?2d，
2由b1b3?b2，得?b?d??b?b?2d?，得d?0，则bn?b，经检验适合题意.
2综上①②，满足条件的
?bn?的通项公式为
bn?b或
bn???1?
n?1b. ……………16分
附加题答案
21. A、解：由切割线定理得：PD?PA?PC?PB
则4?(2?4)?3?(3?BC)，解得BC?5， …………4分
又
因
为
AB是半圆
O的直径，故
?ADB?则
?2, …………6分
在
三
角
形
PDB
中
有
BD?PB2?PD2?64?16?43. …………10分
?m 2??1??1?B、解：由题意得?， …………4????????2 ?3???2???2?分
则
?m?4??， …………8分 ??2?6??2?解得，m?0???4. …………10分
3?x?t??5(t为参数)化为普通方程为4x?3y?0，C、解：直线l:? …………2
?y?4t?5?分
圆则
C圆
的极坐标方程
??2c?o化为直角坐标
的
距
方程离
为为
?x?1?2?y2?1， …………4分
d?442???3?所
2的圆心到直线lC4?， …………6分 5以
6. …………10分 52222222D、解：由柯西不等式，得(x?2y?z)?(1?2?1)?(x?y?z)， AB?21?d2?即
x?2y?z?12?22?12?x2?y2?z2， …………5分
1222又因为x?2y?z?1，所以x?y?z?，
6xyz11当且仅当??，即x?z?,y?时取等号.
12163综
上
，
1. …………10分 min63222．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P?1??. …………4
3?33?x2?y2?z2??分 （
2
）
k5?k由题意得
1X~B(5,)3，
?1??2?P(X?k)?C5k?????3??3?,k?0,1,2,3,4,5. …………6分
1 2 3 4 5 所以X的概率分布表为： X 0 P 32243 80 24380 24340243 10 2431243 ………
…8分
所
以，X的数学期望为
15E(X)?5??. …………10分
33?n?1?! n!kk?123.解：（1）①kCn?nCn?1?k??n?k!?n?k?!?k?1?!?n?k?!n!n!???0. …………k?1!n?k!k?1!n?k!????????…2分
②kC?n?n?1?C2knk?2n?2?nCk?1n?1n?2?!?n! ?k??n?n?1??k!?n?k?!k?2!n?k!????2n?1?!n!n!n!??k??? ?n??k?1?!?n?k?!?k?2?!?n?k?!?k?1?!?n?k?!?k?1?!?n?k?!?n!1??k?1????0. ……………
k?1??k?2?!?n?k?!?k?1
…4分
2k（2）方法一：由（1）可知当k?2时?k?1?Cn?k?2k?1Cn?kCn?2kCn?Cn
2k2kkk??k?2k?1k?1kk?2k?1k???n?n?1?Cn?2?nCn?1???2nCn?1?Cn?n?n?1?Cn?2?3nCn?1?Cn. …………
…6分
故1Cn?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn
2021222k2n01??12Cn?22Cn??n?n?1??Cn0?2?Cn1?2?L?Cnn??22??3n?Cn1?1?Cn2?1?L?Cnn??11? 23n??Cn?Cn?L?Cn???1?4n??n?n?1?2n?2?3n?2n?1?1???2n?1?n?
?2n?2?n2?5n?4?. …………
…10分
方法二：当n?3时，由二项式定理，有?1?x??1?Cnx?Cnx?n122kk?Cnx?nn?1?Cnx，
nn?Cnx，
两边同乘以x，得?1?x?x?x?Cnx?Cnx?n1223kk?1?Cnx?两边
n对
122x?1?2Cnx?3Cnx?x求
kk??k?1?Cnx?导
nn??n?1?Cnx，
，得
…………
?1?x??n?1?x?n?1…6分
两边再同乘以x，得
?1?x?nx?n?1?x?n?11223x2?x?2Cnx?3Cnx?nn?1kk?1??k?1?Cnx?n?2nn?1??n?1?Cnx，
n?1两边再对x求导，得?1?x??n?1?x?122?1?22Cnx?32Cnx?2x?n?n?1??1?x?2x2?2n?1?x?x
kk??k?1?Cnx?nn??n?1?Cnx. …………
…8分
令即
x?1，
22得
12kn， ?32Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn2n?n2n?1?n?n?1?2n?2?2n2n?1?1?22Cn012kn12Cn?22Cn?32Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn?2n?2?n2?5n?4?. …………10分
22
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