高中数学第二章平面向量平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修

§6 平面向量数量积的坐标表示

内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算(重点).

2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角,会判断两个向量的垂直关系(难点).

知识点1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示:

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (2)模、夹角、垂直的坐标表示:

【预习评价】

1.已知向量a=(-4,7),向量b=(5,2),则a·b的值是( ) A.34 B.27 C.-43

D.-6

解析 a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+7×2=-6. 答案 D

2.设向量→OA=(1,0),→OB=(1,1),则向量→OA,→

OB的夹角为( ) A.ππ6 B.4 C.ππ3 D.2

解析 cos θ=

OA→·OB→

=1×1+0×112=, |→OA||→OB|

1·1+122∵θ∈[0,ππ

2],∴θ=3.

答案 C

知识点2 直线的方向向量

(1)定义:与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. (2)性质:给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m=(1,k). 【预习评价】

1

1.直线2x-3y+1=0的一个方向向量是( ) A.(2,-3) C.(-3,2) 答案 D

2.过点A(-2,1)且与向量a=(3,1)平行的直线方程为________. 答案 x-3y+5=0

题型一 平面向量数量积的坐标运算

【例1】 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求: (1)向量a的坐标;(2)若c=(2,-1),求(a·c)·b. 解 (1)设a=λb=(λ,2λ). ∵a·b=10,∴5λ·5cos 0°=10, 解得λ=2.∴a=(2,4).

(2)(a·c)·b=[(2×2+4×(-1)]·b=0·b=0.

规律方法 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积的坐标运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.

【训练1】 已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求:(1)a·b;(2)(a+b)·(2a-

B.(2,3) D.(3,2)

b);(3)(a·b)·c,a·(b·c).

解 (1)a·b=(1,3)·(2,5)=1×2+3×5=17. (2)∵a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8),

2a-b=2(1,3)-(2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1), ∴(a+b)·(2a-b)=(3,8)·(0,1)=3×0+8×1=8. (3)(a·b)·c=17c=17(2,1)=(34,17),

a·(b·c)=a·[(2,5)·(2,1)]=(1,3)·(2×2+5×1)=9(1,3)=(9,27).

题型二 平面向量的夹角问题

→→→

【例2】 已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).

→→→

(1)求使CA·CB取得最小值时的OC; (2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB. 解 (1)∵点C是直线OP上的一点, →→

∴向量OC与OP共线, →→

设OC=tOP(t∈R),

2

则→

OC=t(2,1)=(2t,t), ∴→CA=→OA-→

OC=(1-2t,7-t), →CB=→OB-→

OC=(5-2t,1-t),

∴→CA·→

CB=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t) =5t2

-20t+12=5(t-2)2

-8.

∴当t=2时,→CA·→CB取得最小值,此时→

OC=(4,2). (2)由(1)知→

OC=(4,2), ∴→CA=(-3,5),→

CB=(1,-1),

∴|→CA|=34,|→CB|=2,→CA·→

CB=-3-5=-8. →∴cos∠ACB=CA·→CB=-417

.

|→CA||→CB|

17规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤

【训练2】 已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).(1)试计算a·b及|a+b|的值; (2)求向量a与b夹角的余弦值.

解 (1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1),

b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3),

∴a·b=4×1+3×(-1)=1, |a+b|=+

2+-

2=25+4=29.

(2)由a·b=|a||b|cos θ, ∴cos θ=

a·b|a||b|=12

2×5=10

. 3

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