§6 平面向量数量积的坐标表示
内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).
2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．
知识点1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)模、夹角、垂直的坐标表示：
【预习评价】
1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是( ) A．34 B．27 C．－43
D．－6
解析 a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6. 答案 D
2．设向量→OA＝(1,0)，→OB＝(1,1)，则向量→OA，→
OB的夹角为( ) A.ππ6 B.4 C.ππ3 D.2
解析 cos θ＝
OA→·OB→
＝1×1＋0×112＝， |→OA||→OB|
1·1＋122∵θ∈[0，ππ
2]，∴θ＝3.
答案 C
知识点2 直线的方向向量
(1)定义：与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量． (2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝(1，k)． 【预习评价】
1
1．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是( ) A．(2，－3) C．(－3,2) 答案 D
2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为________． 答案 x－3y＋5＝0
题型一 平面向量数量积的坐标运算
【例1】 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. 解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ)． ∵a·b＝10，∴5λ·5cos 0°＝10， 解得λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
规律方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
【训练1】 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－
B．(2,3) D．(3,2)
b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．
解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，
2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，
a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．
题型二 平面向量的夹角问题
→→→
【例2】 已知OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
→→→
(1)求使CA·CB取得最小值时的OC； (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB. 解 (1)∵点C是直线OP上的一点， →→
∴向量OC与OP共线， →→
设OC＝tOP(t∈R)，
2
则→
OC＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴→CA＝→OA－→
OC＝(1－2t,7－t)， →CB＝→OB－→
OC＝(5－2t,1－t)，
∴→CA·→
CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2
－20t＋12＝5(t－2)2
－8.
∴当t＝2时，→CA·→CB取得最小值，此时→
OC＝(4,2)． (2)由(1)知→
OC＝(4,2)， ∴→CA＝(－3,5)，→
CB＝(1，－1)，
∴|→CA|＝34，|→CB|＝2，→CA·→
CB＝－3－5＝－8. →∴cos∠ACB＝CA·→CB＝－417
.
|→CA||→CB|
17规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤
【训练2】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值．
解 (1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝＋
2＋－
2＝25＋4＝29.
(2)由a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝
a·b|a||b|＝12
2×5＝10
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