《高等数学》张民选 第八章复习要点.

第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点

多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展,它们既有相似之处(概念及处理问题的思想方法)又有许多本质的不同,要善于进行比较,既要认识到它们的共同点和相互联系,更要注意它们的区别,深刻理解,融会贯通。

一、重点

多元函数偏导数的概念,全微分的概念及公式,复合函数求导法则,隐函数求导法则,偏导数的几何应用,多元函数极值。

二、难点

复合函数求导,多元函数极值 三、主要内容 1. 偏导数 对二元函数

由定义求求导.

时,暂时将看作常数,对求导,求时,暂时将看作常数,对

同理,可得三元函数的偏导数

2. 高阶偏导数

对二元函数,有,,,

同理,可得三元函数的高阶偏导数

3. 全微分

对二元函数,

对三元函数

4. 复合函数求导法则

思考:如何求复合函数的二阶偏导数

5. 隐函数的求导法则

由方程确定,则

6. 微分法在几何上的应用 (1 空间曲线

在点

处的切线方程:

(其中

法平面方程:

(2 曲面

在点

点对应参数)

处的切平面方程:

法线方程

7. 方向导数与梯度 二元函数

在点

处沿射线方向的方向导数:

(其中

梯度

梯度向量的方向为点

为轴正向到射线的转角)

处方向导数取得最大值的方向,且

类似,可得三元函数的方向导数与梯度。

8. 二元函数的极值 求函数

极值的一般步骤:

(1)令(2)求出(3)利用判别式三、基本要求

,解得函数

的驻点

的符号判断驻点是否为极值点。

1. 深刻理解二元函数偏导数的概念,能熟练求出一阶和高阶偏导数; 2. 掌握全微分概念,会求二、三元函数的全微分; 3. 会求复合函数偏导数,掌握隐函数的求导方法; 4. 会求曲线的切线、法平面,曲面的切平面和法线; 5. 会求二元函数极值.

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