九年级数学上册
第一章 反比例函数
(一)反比例函数
1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,
在解决有关自变
量指数问题时应特别注意系数
这一限制条件;
2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中
的k,从而
得到反比例函数的解析式;
(二)反比例函数的图象与性质
1.函数解析式:(
)
2.自变量的取值范围:
3.图象:反比例函数的图象:在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,
且x应对称取点(关于原点对称). (1)图象的形状:双曲线弯曲度越大.
(2)图象的位置和性质:自变量双曲线的渐近线. 当小; 当大.
(3)对称性:图象关于原点对称,若(a,b)在双曲线的一支上,(线的另一支上. 图象关于直线
)在
对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(
,
,
)在双曲
时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减
,函数图象与x轴、y轴无交点,两条坐标轴是
越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.
越小,图象的
双曲线的另一支上. 4.k的几
何意义: 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作积是(三角
PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面
形PAO和三角形PBO的面积都是). 如图2,
由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为
.
图1 图2 5.说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨
论,不能一概而论.(2)直线没有交点;当
与双曲线的关系:当时,两图象
时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(三)反比例函数的应用
1、求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.
2、反比例函数与一次函数的联系. 3、充分利用数形结合的思想解决问题.
第二章 一元二次方程
(一)一元二次方程
1、只含有一个未知数的整式方程(分母不含未知数),且都可以化为ax2?bx?c?0(a、b、c为常 数,
a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。
2、把ax2?bx?c?0(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项(包括符号)。
(二)一元二次方程的解法
1、直接开平方法:如果方程化成 如果方程能化成根。
的形式,那么可得
(p≥0)的形式,那么
; 进而得出方程的
2、配方法:配方式
基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;②将二次项系数化成1;③把常数项移到方程
的右边;④两边加上一次项系数的一半的平方;⑤把方程转化成左边为一个完全平方式,
右边化为一个常数;两边开方求其根。
?b?b2?4ac 3、公式法x? (注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式)
2a 4、分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”
和“十字相乘”)
(三)一元二次方程根的判别式
判别式⊿=b-4ac与根的关系:
2
当b-4ac>0时,则方程有两个不等的实数根; 当b2-4ac=0时,则方程有两个相等的实数根;
2
当b-4ac≥0时,则方程有两个实数根;
2
当b-4ac<0时,则方程无实数根
(,上述结论反之也成立,但注意都同时要满足二次项系数a≠0)
2
(四)一元二次方程根与系数的关系:
1、根与系数关系:如果一元二次方程ax2?bx?c?0的两根分别为x1、x2, 则有:
bx?x??, 12ax1?x2?c.(韦达定理) a2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用: (1)已知方程的一根,求另一根;
(2)不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值,特别注意以下公式: ①
2x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2 ②
11x1?x2??x1x2x1x2 ③
(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2
④|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2 ⑤(|x1|?|x2|)2?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|
333 ⑥x1?x2?(x1?x2)?3x1x2(x1?x2) ⑦其他能用x1?x2或x1x2表达的代数式。
(3)已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:x2?(x?x2)x?x1x2?0,
1
(4)已知两数x1、x2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程
x2?(x1?x2)x?x1x2?0 的两根。