中南大学高等数学答案--

解:无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以limsinx?0

x??x而A, C, D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。

6.下列函数中,在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是( )

(A)y?xsinn1(x??); (B)y?n??1?(n??); x(C)y?lnx(x??0); (D)y?11cos(x?0) xx解:?limxsinx??11?limsinxx??xn11?1,故不选(A)。取m?2k?1,则limn??1??lim?0,

n??k??2k?1x故不选(B)。取xn?1n???2, 则limn??11cos?0,故不选(D)。答案:C xnxn1??xsin,x?07.设f(x)??,则f(x)在x?0处( ) x??x,x?0A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导

解:(B)

x?0lim?f(x)?lim?x?0,lim?f(x)?lim?xsinx?0x?0x?01?0,f(0)?0 x因此f(x)在x?0处连续

f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)?lim?x?0x?0xsin1?01x?lim?sin,此极限不存在

x?0x?0x从而f??(0)不存在,故f?(0)不存在

8.曲线y?x?x在点(1,0)处的切线是( ).

A.y?2x?2 B.y??2x?2 C.y?2x?2 D.y??2x?2 解:由导数的定义和它的几何意义可知,

3y?(1)?(x3?x)?x?13?(3x2?1)x?1?2

是曲线y?x?x在点(1,0)处的切线斜率,故切线方程是

y?0?2(x?1),即y?2x?2

正确答案:A

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9.已知y?14x4,则y??=( )

. A. x3 B. 3x2 C. 6x D. 6 解:直接利用导数的公式计算:

y??(14x4)??x3, y???(x3)??3x2

正确答案:B

10.若f(1x)?x,则f?(x)?( )。

A.

1x B.111x2 C.?x D.?x2 答案:D 先求出f(x),再求其导数。

11.z?lnx2?y2的定义域为( ).

A.x2?y2?1 B.x2?y2?0 C.x2?y2?1 D.

x2?y2?0 解:z的定义域为?(x,y)x2?y2?0}个,选D。 12.下列极限存在的是( ) A.limxx?y B.lim1 C.x2 D.xxy??00x?ylimlimxsin1 y??00x?0y?0x?yxy??00x?y解:A.当P沿x?0时,ylim?0f(0,y)?0,当P沿直线y?0时,limx?0f(x,0)?1,故lim

xy??00x1x2x?y不存在; B. lim??x,不存在; C. y??0 0x?y如判断题中1 题可知limxy? 不存在;?00x?yxlim xsin1y??0x?y?limxx?0,所以lim1x??0xsin?0,选D 0y??00y0x?y13.若f(?x)?f(x)(???x???),在(??,0)内f?(x)?0,f??(x)?0,则在(0,??)内( ). A.f?(x)?0,f??(x)?0 B.f?(x)?0,f??(x)?0 C.f?(x)?0,f??(x)?0 D.f?(x)?0,f??(x)?0

解:因f(x)为偶函数,则f?(x)为奇函数,f??(x)为偶函数,故应选(C).

14.设f(x)为奇函数,且x?0时f?(x)?0,则f(x)在[?10,?1]上的最大值为( ) A.f(?10) B.f(?1) C.f(10) D.f(1)

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因为

D. 解:(B)

因为f(x)是奇函数,故f(?x)??f(x),两边求导?f?(?x)??f?(x),从而f?(x)?f?(?x),设x?0,则?x?0,从而f?(x)?f?(?x)?0,所以f(x)在[-10,-1]上单调增加,故最大值为f(?1) 15.函数f(x,y,z)?4(x?y)?x?y ( )

A.有极大值8 B.有极小值8 C.无极值 D.有无极值不确定 解:fx?4?2x,fy??4?2y,???x?2?fx?0???? f?0y??2?y??22??20?H??? H?0 ?2?0,f(2,?2)?8为极大值 (A) 0?2??16.设f(x)是以T为周期的连续函数,则I?? a?T af(x)dx的值( )。

A.依赖于a,T B.依赖于a,T和x C.依赖于T,x,不依赖于a D.依赖于T,不依赖于a 解:根据周期函数定积分的性质有,

32? l?T lf(x)dx??f(x)dx,故应选(D).

0 T17.曲线y?sinx (0?x??)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为( ). A.

44222 B.? C.? D.? 3333cos3x?4(1?cosx)dcosx???[cosx?]0??.

332解:所求旋转体的体积为

V???ydx???sinxdx????00?2?3?0故应选(B)。

sinx4218.设M???cosxdx,N??2?(sin3x?cos4x)dx, 2 ?1?x ?22 ??P??2?(x2sin3x?cos4x)dx,则有( ).

?2 ?A.N?P?M B.M?P?N C.N?M?P D.P?M?N 解:利用定积分的奇偶性质知M?0,N?2?2 0 ?4cosxdx?0,P??2?2cos4xdx?0,

0 ?所以P?M?N,故选(D)。

19.下列不定积分中,常用分部积分法的是( )。 A.xsinx2dx B.xsin(2x?1)dx C.

??lnxxdx D.?x?1?xdx

答案:B。

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20.设I?x2?y2?4??(1?x2?y)dxdy,则必有( )

213(A)I>0 (B)I<0 (C)I=0 (D)I?0的符号位不能确定

14?0???2?32?22323解: D:? I??0d??0(1?r)rdr????(1?r)4?0?r?22?0

021.设f(t)是可微函数,且f(0)=1,则极限(lim?t?01?t3x2?y2?t2??f(x2?y2)dxdy)( )

(A)等于0 (B)等于

2f'(0) 3(C) 等于+? (D)不存在且非? 答案:为(C)

2??0rf(r)dr212?f(t)t解:由极坐标,原极限?lim3?0d??0rf(r)dr?lim?lim??? 3t?0?tt?03t?0t?t???t22.设函数项级数

?un?1?n(x),下列结论中正确的是( ).

(A)若函数列?un(x)?定义在区间I上,则区间I为此级数的收敛区间 (B)若S(x)为此级数的和函数,则余项rn(x)?S(x)?Sn(x),limrn(x)?0

n??(C)若x0?I使

?un?1?n(x0)收敛,则|x|?|x0|所有x都使?un(x)收敛

n?1?(D)若S(x)为此级数的和函数,则解:选(B).

23.设a?0为常数,则级数

?un?1?n(x0)必收敛于S(x0)

an(?1)(1?cos)( ). ?nn?1?(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性与a有关

?aa2a22a?解:因为(?1)(1?cos)?2sin,而?收敛,因此原级数绝对收敛。故选(A)。 2n2n2n22nn?1n(x?a)n24.若级数?(?1)在x?0时发散,在x?0处收敛,则常数a?( ).

nn?1?n(A)1 (B)-1 (C)2 (D)2

n?(?a)nn(x?a)解:由于?(?1)收敛,由此知a?1.当?1?a?1时,由于?(?1)的收敛半径为1,

nnn?1n?1?n因此该幂级数在区间(a?1,a?1)内收敛,特别地,在(0,a?1)内收敛,此与幂级数在x?0时发散矛盾,

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因此a??1.故选(B). 25.y???2y??5y?e(A)y?e**?x?xcos2x的特解可设为( )

Acos2x; (B)y*?xe?xAcos2x;

?x(C)y?xe?Acos2x?Bsin2x?; (D)y*?e?x?Acos2x?Bsin2x?.

解:C

26.微分方程的阶数是指( )

(A)方程中未知函数的最高阶数; (B)方程中未知函数导数或微分的最高阶数; (C)方程中未知函数的最高次数; (D)方程中函数的次数. 解:B

27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.

222(A)x?y?c; (B)y?c1x?c2x?c3;

(C)y?c1sinx?c2cosx; (D)y?ln?c1x??ln?c2cosx?.

22解:C

28.A、B均为n阶可逆矩阵,则A、B的伴随矩阵(AB)?=( ).

(A)A?B?; (B)|AB|A??B??; (C)B??A?? (D)B?A?;

解答:D

29.设A、B均为n阶方阵,则必有[ ]。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA

–1–1–1

(C) |AB|=|BA| (D) (A+B)=A+B

解:正确答案为(C)

30.A,B都是n阶矩阵,则下列各式成立的是 ( )

TTTT(A)?AB??AB (B)?A?B??A?B

TT(C)?AB??1?A?1B?1 (D)?A?B??A?1?B?1

?1解答:B

31.在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为( ) A.ACBC B.ABC C.ABCABCABC D.ABC

解:由事件间的关系及运算知,可选(A)

32.袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为( )

53?3?14?3?1A. B.?? C.C8 D. ??4C88888????8解:基本事件总数为C8,设A表示“恰有3个白球”的事件,A所包含的基本事件数为C5=5,故

4153P(A)=

5,故应选(D)。 4C833.已知0<P?B?<1,0<P?A1?<1,0<P?A2?<1,且P?A1第10页共18页

?A2?|B?

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