高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解
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1．简谐运动的描述和基本模型
⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x，且其所受合力F满足F??kx(k?0)，故得a??kx???2x，??mk m则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即
121212E??2m??2kx?2kA
⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力
?F??kx，那么这个物体
一定做简谐运动，而且振动的周期T?2???2?m，式中m是振动物体的质量。 k⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m和k都相同，则弹簧振子的振动周期T就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．
⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为T?2?l，在一些“异型单摆”中，l和g的含义及值会发生变化。 g（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为?1和?2，则它们的运动学方程分别为
x1?A1cos(?t??1) x2?A2cos(?t??2)
因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x仍应在同一直线
上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即x?x1?x2
由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为x?Acos(?t??)
这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为
2A?A12?A2?2A1A2cos(?2??1) 合振动的初相满足tan??2．机械波：
A1sin?1?A2sin?2
A1cos?1?A2cos?2（1）机械波的描述：如果有一列波沿x方向传播，振源的振动方程为y=Acosωt，波的传播速度为?，那么在离振源x远处一个质点的振动方程便是
x??y?Acos??(t?)?，在此方程中有两个自变量：t和x，当t不变时，这个方程描写
???某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．
（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。如果一列简谐波在o?xy平面内，以波速u沿ox轴正方向传播，振源（设其位于坐标原点）的振动方程为y?Acos(?t??)，由于波是振动状态的传播，故知坐标原点的振动状态传播到离振源x(x?0)处要滞后t0?x的时间。这表明若坐标u原点振动了t时间，x处的质点只振动了t?t0的时间，于是x处振动质点的位移可表为
y?Acos??(t?)???
显然，上式适用于表述ox轴上所有质点的振动，它就是平面简谐波的波函数，也常称为平面简谐波的波动方程。
??xu??同理，如果简谐波沿ox轴负方向传播，则波函数为y?Acos??(t?)???
??xu??为了加深对波函数物理含义的理解，下面以y?Acos??(t?)???为例做－讨论。
①当x?x0时（好似用摄像机对着坐标为x0这一质点进行拍摄），则
??xu??x?x????y?Acos??(t?0)????Acos??t?(??0)?。它表示的是坐标为x0的质
uu????点在不同时刻的位移，即该处质点的振动方程。
②当t?t0时（好似用照相机对一组质点在t0时刻进行照相），则
x????x?y?Acos??(t0?)????Acos??(???t0)?。它表示在给定的t0时刻各
u???u?质点的位移分布情况，相应的图像称为t0时刻的波形图。 3．波的干涉和多普勒效应
⑴波的叠加：几列波在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都将保持各自原有的频率、波长和传播方向，并不相互干扰．波的这种性质叫做波的独立性．因此在几列波重叠的区域内，每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的．故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和．这种现象称为波的叠加．
⑵波的干涉：两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。两列相干波传到同一个区域，可使某些位置的质点振动加强，某些位置的质点振动减弱，而且振动加强和振动减弱的区域相互间隔，这种现象叫做波的干涉。
⑶多普勒效应：当声源和观察者之间存在相对运动时，会发生收听频率和声源频率不一致的现象．该种现象神称为多普勒效应．
为了简单，这里仅讨论波源或观察者的运动方向与波的传播方向共线的情况． 设波速为?0，波的频率为f，接收到的频率为f?： （a）观察者以速度u向波源运动：f???0?uf ?0(b)波源以速度?向观察者运动：f???0?0??f
(c)波源和观察者都运动：f???0?uf
?0??根据简谐振动的基本模型和各种变形的振动模型，求振动周期是振动问题的一种基本类型，解题中要注意简谐振动的动力学特征F??kx或a??等效量。
例1．一简谐运动的系统如图7—1所示，不计一切摩擦，绳不可伸长，
m1、m2及弹簧的劲度系数k已知求m2上下振动的周期。 分析和解：本题是一个弹簧振子的变式模型，解题时要根据受力分析 由牛顿运动定律得出振动的动力学特征，然后由周期公式就可求出其 振动周期
设某一时刻弹簧伸长x，绳上张力是FT。 分析m1：kx?m1g?FT?m1a 分析m2：FT?m2g?m2kx的形式，从中得出有关ma 2m2)， 2消去FT：2kx?2m1g?m2g?a(2m1?假设振子平衡时弹簧伸长?x0，此时m1、m2的加速度为零，则有2k?x0?m2g?2m1g 设m1偏离平衡位置的位移为?x，则x??x??x0
m2) ① 2mg?2m1gm将?x0?2代入①式，可得2k?x?a(2m1?2)
2k2m ?F?k?x?a(m1?2)
42k(?x??x0)?2m1g?m2g?a(2m1?所以这个振子系统的等效质量是m1?4m1?m2m2，周期为T?2? 4k4波的干涉问题大多是问题简单，解答繁复，根据矢量叠加原理和波的干涉特征，大多产生多值问题，在处理这类问题时，一般先不急于代人数据，文字运算有助于从物理意义角度思考问题．
例3．如图7—3所示，在半径为45 m的圆形跑道的P点和圆心Q点各有一个相同的扬