3.4 线性方程组解的结构 当线性方程组有无穷多解时,能否用有限个解把无穷多个解全部表示出来，这就是我们将要讨论的线性方程组解的结构问题. 一 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组(6)表示为 如果为齐次线性方程组(6)的解,则 = 称为方程组(6)的解向量,它也是矩阵方程的(7)的解. 根据矩阵方程（7），我们来讨论解向量的性质。 性质1 若，为（7）的解，则也是（7）的解。 证 只要验证满足方程（7）： . 即也是方程组(7)的解. 证毕 1 / 12
性质2 若为（7）的解，为实数，则也是（7）的解. 证 . 即 也是方程组(7)的解. 证毕 性质3 若组合为（7）的解,对于也是（7）的解. 的任意一组常数,则其线性证 = = 即线性组合也是方程组(7)的解. 证毕 从第二节齐次线性方程组的例题中可知,对于有元齐次线性方程组,若,则个个自由未知量,这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数,它也可以表示为线性无关的解向量与个任意常数的线性组合,这时我们称其为齐次线性方程组的全部解. 当然,我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方法，利用增广矩阵的初等行变换把增广矩阵转化为行最简型，可得同解方程组.对于们可得用向量表示的一般解形式,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的,我解向量组. 在上一节的例6中, 系数矩阵的秩,而未知量的个数,则自由未知量的个数为式为: ,这时方程组无穷解的一般表达式中含2个任意常数,方程组解向量的一般表达2 / 12
= 其中, ,,如果在解向量的一般表达式中令和 可得解向量,则是线性无关的解向量组. 依据上面的讨论,对于齐次线性方程组给出一个重要的概念. 定义3.1 已知齐次线性方程组达式为 有无穷多解,并且含有个自由未知量,若解向量的一般表(为任意常数) 则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系. 根据齐次线性方程组解的性质以及求解过程,我们可以判定齐次线性方程组解的基础解系不唯一,有无穷多组,但是它们含有解向量的个数不变,并且都等于自由未知量的个数.构成基础解系的解向量是线性无关的. 从而可得齐次线性方程组解的重要定理. 定理3.1 元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩 则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量,方程组的3 / 12