sin2θ=2sinθcosθ． 则
=
=2sin2θ+2cos2θ=2． 故答案为2．
三．解答题（共6小题）
=
17．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，nan+1=（n+2）Sn+n（n+1），n∈N*． （1）证明：数列（2）求Tn=S1+S2+…+Sn．
【解答】解：（1）证明：a1=1，nan+1=（n+2）Sn+n（n+1），n∈N*， 因为an+1=Sn+1﹣Sn，
所以n（Sn+1﹣Sn）=（n+2）Sn+n（n+1）， 即nSn+1=2（n+1）Sn+n（n+1）， 则所以又
=2?
+1，
+1），
为等比数列；
+1=2?（+1=2，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列；
+1=2n，
（2）由（1）知所以Sn=n?2n﹣n，
故Tn=S1+S2+…+Sn=（1?2+2?22+…+n?2n）﹣（1+2+…+n）． 设M=1?2+2?22+…+n?2n， 则2M=1?22+2?23+…+n?2n+1， 所以﹣M=2+22+…+2n﹣n?2n+1 =
﹣n?2n+1，
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所以M=（n﹣1）?2n+1+2，
所以Tn=（n﹣1）?2n+1+2﹣n（n+1）．
18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，∠ABC=120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，
，平面BDEF⊥底面ABCD．
（1）证明：平面AEF⊥平面AFC； （2）求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD， ∴AC⊥平面BDEF，从而AC⊥EF． 又BD⊥DE，∴DE⊥平面ABCD， 由AB=2a，DE=2BF=2∴AF=EF=
==
，∠ABC=120°， ，BD=2a， a，AE=
=2
a，
从而AF2+FE2=AE2，∴EF⊥AF． 又AF∩AC=A，∴EF⊥平面AFC．
又EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面AFC． 解：（Ⅱ）取EF中点G，由题可知OG∥DE， ∴OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB， ∴分别以
，
，
的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，
，0，0），C（﹣
，0，0），E（0，﹣a，2
），F
则O（0，0，0），A（
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（0，a，∴
=（﹣
），
），
=（﹣2
，0，0），
=（0，2a，﹣=（0，2a，﹣
a）．
）．
由（1）可知EF⊥平面AFC，∴平面AFC的法向量可取为设平面AEC的法向量为=（x，y，z）， 则
，即
，令z=
，得=（0，4，）．
∴cos＜＞===．
．
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为
19．已知椭圆
的公共弦长为
（1）求椭圆C的方程；
的长轴长为6，且椭圆C与圆．
（2）过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a=6，所以a=3， 由椭圆C与圆
可得椭圆C经