华中农业大学本科课程考试
参考答案与评分标准
考试课程：概率论与数理统计 学年学期： 试卷类型：A 卷 考试时间：
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该
题【 】内。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。）
1. 设A、B满足P(BA)?1，则 ． 【 d 】
（a）A是必然事件；（b）P(BA)?0；（c）A?B；（d）P(A)?P(B)．
2. 设X～N（μ，σ2），则概率P（X≤1＋μ）=（ ） 【 d 】 A） 随μ的增大而增大 ； B） 随μ的增加而减小； C） 随σ的增加而增加； D） 随σ的增加而减小．
3. 设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中?已知，?2未知，X1,X2,X3是总体X的一个简 单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 ． 【 c 】 （a）X1?X2?X3； （b）min(X1,X2,X3)； （c）?
i?13
Xi2?
2
； （d）X?2?．
4. 在假设检验中, H0表示原假设, H1表示备择假设, 则成为犯第二类错误
的是 ． 【 c 】 （a）H1不真, 接受H1； （b）H0不真, 接受H1； （c）H0不真, 接受H0； （d）H0为真, 接受H1．
5．设X1,X2,?,Xn为来自于正态总体X~N(?,?2)的简单随机样本，X是样本均值，记
2S11?n?1?(Xi?1nni?X)2,
S221?n?(Xi?1nni?X)2 ,
2S31?n?1?(Xi?1i??)2,
S241?n?(Xi?1i??)2,
则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是 . 【 b 】 （a）T?
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X??S1n?1；（b）T?X??S2n?1；（c）T?X??S3n；（d）T?X??S4n.
二、填空题（将答案写在该题横线上。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，
共10分。）
1．10部机器独立工作,因检修等原因,每部机器停机的概率为0.2，同时停机数目为3部的概
3?0.22?0.87或0.201 。 率= C102. 在单因素方差分析中，试验因素A的r个水平的样本总容量为n，则当原假设H0成立时，
2
SSA?2服从X(r-1) 分布，MSAMSE服从 F(r-1,n-r) 分布.
3. 若随机变量 ? 1，? 2，…，? n相互独立，且都服从正态分布N(0,1)，则? 1 + ? 2 + … + ? n 服从 N(0, n) 分布.
4. 若总体服从正态分布N(?，?２)，从中抽取样本为：ｘ 1, ｘ 2 , … , xn ,
则?的矩估计是 x.
5. 在区间估计的理论中，当样本容量给定时，置信度与置信区间长度的关系是 置信度
越大, 置信区间长度越长 .
三、(10分，要求写清步骤及结果) 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的, 假设每箱平均重50千克, 标准重为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977。( 附：Φ(2)=0.977
其中Φ(x)是标准正态分布函数。)
解 设Xi (i=1,2,…,n)是装运的第i箱的重量(单位:千克),n是所求箱数.由条件X1,X2,…,Xn视
为独立同分布随机变量, 而n箱总重量Tx= X1+X2+…+Xn是独立变量之和,依题意有 ………………（2分） EXi=50,DXi?5,ETn=50n,DTn=5n(单位：千克). ………………（2分） 根据独立同分布中心极限定理,Tn近似服从正态分布N(50n,25n).箱数应满足条件P{Tn?5000}=P?由此可见
?Tn?50n?5n?5000?50n??5n??1000?10n? ??????>0.977=?(2),……………（4分）
n??1000?10nn>2. 从而n < 98.0199, 即最多可以装98箱. ………………（2分）
舍去 n ＞102．
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四、(10分，要求写清步骤及结果)
设某厂生产的电灯的寿命ξ服从指数分布E(λ),
???e??x,x?0其分布密度为p(x)= ?, 为了确定其参数λ,现在抽样试验得到如下数据
??0,x?0(单位:小时): 1020, 1111, 1342, 998, 1308, 1623 试用极大似然法确定未知参数λ的极大似然估计. n??xi?e?解: 似然函数 Ｌ＝ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） i=1 取对数: ｌ＝ｌnＬ＝nln???nx,
求导数:
^dln= ?nx =0, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． （4分） d??11?4== 8.1? 10 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） x1233.67得: ??
五、(12分，要求写清步骤及结果)已知某树种的木材横纹抗压力遵从正态分布,随机抽取
该中木材的试件9个,做横纹抗压力试验,获得下列数据(单位kg/cm2):
482, 493, 457, 510 ,446, 435, 418, 394, 469.
试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力. (附 t0.975(9-1)=2.306??)
解： 此为小样本问题. 总体X具有分布为N(? , ?2), ? , ?2 均未知.用
T=n(x??)s* (或 T=
n?1(x??)) ．．．．………………．．．．．．．．（4分） s x=456, s*=37.0135, s=34.8967, ．．．．………………．．．．．．．．（4分）
s* ?? t0.975(9-1)=28.45, ．．．．………………．．．．．．．．（2分）
n ??[x??,x??]=[427.55, 484.45]. ．．．．…………… …．．．．．．．．（2分） 为此抽样下的置信区间.
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