屈婉玲版离散数学课后习题答案【1】

第一章部分课后习题参考答案

16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0

(2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0.

(3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1) ? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1

17.判断下面一段论述是否为真:“?是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。”

答:p: ?是无理数 1 q: 3是无理数 0 r:

2是无理数 1

s: 6能被2整除 1

t: 6能被4整除 0

命题符号化为: p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。 19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)

答: (4)

p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1

(5)公式类型为可满足式(方法如上例)//最后一列至少有一个1 (6)公式类型为永真式(方法如上例)//

第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.

(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)

答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1

所以公式类型为永真式

(3) P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

所以公式类型为可满足式

4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))

(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r)

? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r)

(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)

?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值

(1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r

(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解:

(1)主析取范式

(?p→q)→(?q?p)

??(p?q)?(?q?p)

?(?p??q)?(?q?p)

? (?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q) ? (?p??q)?(p??q)?(p?q) ?m0?m2?m3

?∑(0,2,3)

主合取范式:

(?p→q)→(?q?p)

??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)

?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p)) ?1?(p??q) ?(p??q) ? M1 ?∏(1) (2) 主合取范式为:

?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为:

(p?(q?r))→(p?q?r)

??(p?(q?r))→(p?q?r)

?(?p?(?q??r))?(p?q?r)

?(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r))

?1?1 ?1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1 主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

第三章部分课后习题参考答案

14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: (2)前提:p?q,?(q?r),r 结论:?p

(4)前提:q?p,q?s,s?t,t?r 结论:p?q

证明:(2)

①?(q?r) 前提引入 ②?q?③q??r ①置换

?r ②蕴含等值式

④r 前提引入 ⑤?q ③④拒取式 ⑥p?q 前提引入 ⑦¬p ⑤⑥拒取式

证明(4):

①t?r 前提引入 ②t ①化简律 ③q?s 前提引入 ④s?t 前提引入 ⑤q?t ③④等价三段论 ⑥(q?t)?(t?q) ⑤ 置换 ⑦(q?t) ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理 (11)p?q ⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:

(1)前提:p?(q?r),s?p,q 结论:s?r 证明

①s 附加前提引入 ②s?p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p?(q?r) 前提引入 ⑤q?r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:

(1)前提:p??q,?r?q,r??s 结论:?p 证明:

①p 结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④¬r?q 前提引入 ⑤¬r ④化简律 ⑥r?¬s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确.

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