第一章部分课后习题参考答案
16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0
（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0.
（3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1
17．判断下面一段论述是否为真：“?是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”
答：p: ?是无理数 1 q: 3是无理数 0 r:
2是无理数 1
s: 6能被2整除 1
t: 6能被4整除 0
命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)
答： （4）
p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1
（5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）//
第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)
答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1
所以公式类型为永真式
(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))
(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)
? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r)
（4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)
?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值
(1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：
（1）主析取范式
(?p→q)→(?q?p)
??(p?q)?(?q?p)
?(?p??q)?(?q?p)
? (?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q) ? (?p??q)?(p??q)?(p?q) ?m0?m2?m3
?∑(0,2,3)
主合取范式：
(?p→q)→(?q?p)
??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)
?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p)) ?1?(p??q) ?(p??q) ? M1 ?∏(1) (2) 主合取范式为：
?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：
(p?(q?r))→(p?q?r)
??(p?(q?r))→(p?q?r)
?(?p?(?q??r))?(p?q?r)
?(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r))
?1?1 ?1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为 1 主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案
14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p?q,?(q?r),r 结论：?p
(4)前提：q?p,q?s,s?t,t?r 结论：p?q
证明：（2）
①?(q?r) 前提引入 ②?q?③q??r ①置换
?r ②蕴含等值式
④r 前提引入 ⑤?q ③④拒取式 ⑥p?q 前提引入 ⑦￢p ⑤⑥拒取式
证明（4）：
①t?r 前提引入 ②t ①化简律 ③q?s 前提引入 ④s?t 前提引入 ⑤q?t ③④等价三段论 ⑥（q?t）?(t?q) ⑤ 置换 ⑦（q?t） ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理 (11)p?q ⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：
(1)前提：p?(q?r),s?p,q 结论：s?r 证明
①s 附加前提引入 ②s?p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p?(q?r) 前提引入 ⑤q?r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：
(1)前提：p??q,?r?q,r??s 结论：?p 证明：
①p 结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取
由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确.